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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.20

Beweis. Es sei [$\mu _{1}$‚ $\mu _{2}$] ein beliebiger Modul des Körpers $k$, wobei also $\mu _{1}$‚ $\mu _{2}$ ganze Zahlen sind, und $\partial =f^{2}d$ die Diskriminante der durch [$\mu _{1}$‚ $\mu _{2}$] bestimmten Modulklasse; ferner bezeichne ${\mathfrak {m}}=(\mu _{1},\,\mu _{2})$ das durch die Zahlen $\mu _{1}$‚ $\mu _{2}$ bestimmte Ideal und $s{\mathfrak {m=m}}'$ das zu ${\mathfrak {m}}$ konjugierte Ideal. Nunmehr bestimme man eine durch ${\mathfrak {m}}'$ teilbare ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ so, daß $\textstyle {\frac {\alpha }{{\mathfrak {m}}'}}$ prim zu $\partial$ ausfällt. Setzen wir dann

$\alpha _{1}={\frac {\alpha \mu _{1}}{n({\mathfrak {m}})}}$,     $\alpha _{2}={\frac {\alpha \mu _{2}}{n({\mathfrak {m}})}}$,

so wird [$\alpha _{1}$‚ $\alpha _{2}$] ein mit [$\mu _{1}$‚ $\mu _{2}$] äquivalenter Modul, während zugleich das durch $\alpha _{1}$‚ $\alpha _{2}$ bestimmte Ideal ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\alpha _{2})$ prim zu $\partial$ ausfällt.

Ist nun $\partial$ eine gerade Zahl, so ziehen wir zunächst die drei ganzen Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ in Betracht; darunter ist notwendig mindestens eine prim zu $2$, denn anderenfalls müßten sich unter diesen drei Zahlen gewiß irgend zwei finden, die mit der Zahl $2$ einen und den nämlichen idealen Primfaktor gemein haben, was dem widerspräche, daß das Ideal ${\mathfrak {a}}$ prim zu $\partial$ ist. Es sei etwa $\alpha _{1}$ prim zu $2$. Nunmehr bezeichne man die ungeraden in $\partial$ aufgehenden rationalen Primzahlen mit $p$, $q$, …, $w$. Da ${\mathfrak {a}}$ prim zu $p$ ist, so muß mindestens eine der drei Zahlen $\alpha _{1}$‚ $\alpha _{1}+\alpha _{2}$, $\alpha _{1}+2\alpha _{2}$ prim zu $p$ sein. Es sei $\alpha _{1}+x\alpha _{2}$ prim zu $p$, ferner sei $\alpha _{1}+y\alpha _{2}$ prim zu $q$, …‚ wo $x$, $y$, … ganze rationale Zahlen bedeuten sollen. Dann folgt leicht die Existenz einer ganzen rationalen Zahl $a$ von der Art, daß $\alpha _{1}+a\alpha _{2}$ prim zu $\partial$ wird.

Setzen wir nun

$b={\frac {\left|n(\alpha _{1}+a\alpha _{2})\right|}{n({\mathfrak {a}})}}$,     $\beta ={\frac {\alpha _{2}(\alpha '_{1}+a\alpha '_{2})}{n({\mathfrak {a}})}}$,

wo $\alpha '_{1}$, $\alpha '_{2}$ die zu $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$ konjugierten Zahlen bedeuten, so ist $b$ eine ganze rationale positive und $\beta$ eine ganze algebraische Zahl, und es wird der Modul $[\alpha _{1},\,\alpha _{2}]=[\alpha _{1}+a\alpha _{2},\,\alpha _{2}]$ äquivalent dem Modul [$b$, $\beta$]. Zugleich ergibt sich wegen $\textstyle (b,\beta )={\frac {\alpha '_{1}+a\alpha '_{2}}{{\mathfrak {a}}'}}$ die Norm $n(b,\,\beta )=b$. Der Modul [$b$, $\beta$] ist offenbar ein reguläres Ringideal in dem durch die Zahl $\beta$ bestimmten Ringe $r=[\beta ]$, und hiermit ist der Satz 116 vollständig bewiesen.

Wegen

$\partial ={\frac {1}{(n(b\,\beta ))^{2}}}\left|{\begin{array}{cc}b,&\beta \\b,&\beta '\end{array}}\right|^{2}=\left|{\begin{array}{cc}1,&\beta \\1,&\beta '\end{array}}\right|^{2}$

stimmt die Diskriminante dieses Ringes $r$ mit der Diskriminante der betrachteten Modulklasse überein. Der erhaltene Ring $r$ ist zugleich der einzige, welcher mit [$\mu _{1}$‚ $\mu _{2}$] äquivalente Moduln unter seinen regulären Ringidealen aufweist. Der Satz 116 zeigt, daß es im quadratischen Körper auf dasselbe hinauskommt, die Modulklassen oder die Klassen regulärer Ringideale zu betrachten.

Nach den allgemeinen Ausführungen in § 30 und § 35 entspricht einer jeden Modulklasse eines quadratischen Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ eine Klasse binärer

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 193. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/210&oldid=- (Version vom 31.7.2018)