Beweis. Es sei [
‚
] ein beliebiger Modul des Körpers
, wobei also
‚
ganze Zahlen sind, und
die Diskriminante der durch [
‚
]
bestimmten Modulklasse; ferner bezeichne
das durch die Zahlen
‚
bestimmte Ideal und
das zu
konjugierte Ideal. Nunmehr bestimme man eine durch
teilbare ganze Zahl
des Körpers
so, daß
prim zu
ausfällt. Setzen wir dann
|
, ,
|
so wird [
‚
] ein mit [
‚
] äquivalenter Modul, während zugleich das durch
‚
bestimmte Ideal
prim zu
ausfällt.
Ist nun
eine gerade Zahl, so ziehen wir zunächst die drei ganzen Zahlen
,
,
in Betracht; darunter ist notwendig mindestens eine prim zu
, denn anderenfalls müßten sich unter diesen drei Zahlen gewiß irgend zwei finden, die mit der Zahl
einen und den nämlichen idealen Primfaktor gemein haben, was dem widerspräche, daß das Ideal
prim zu
ist. Es sei etwa
prim zu
. Nunmehr bezeichne man die ungeraden in
aufgehenden rationalen Primzahlen mit
,
, …,
. Da
prim zu
ist, so muß
mindestens eine der drei Zahlen
‚
,
prim zu
sein. Es sei
prim zu
, ferner sei
prim zu
, …‚ wo
,
, … ganze rationale Zahlen bedeuten sollen. Dann folgt leicht die Existenz einer ganzen
rationalen Zahl
von der Art, daß
prim zu
wird.
Setzen wir nun
|
, ,
|
wo
,
die zu
,
konjugierten Zahlen bedeuten, so ist
eine ganze rationale positive und
eine ganze algebraische Zahl, und es wird der Modul
äquivalent dem Modul [
,
]. Zugleich ergibt sich
wegen
die Norm
. Der Modul [
,
] ist offenbar
ein reguläres Ringideal in dem durch die Zahl
bestimmten Ringe
, und hiermit ist der Satz 116 vollständig bewiesen.
Wegen
|
|
stimmt die Diskriminante dieses Ringes
mit der Diskriminante der betrachteten Modulklasse überein. Der erhaltene Ring
ist zugleich der einzige, welcher mit [
‚
] äquivalente Moduln unter seinen regulären Ringidealen aufweist. Der Satz 116 zeigt, daß es im quadratischen Körper auf dasselbe hinauskommt, die Modulklassen oder die Klassen regulärer Ringideale zu betrachten.
Nach den allgemeinen Ausführungen in § 30 und § 35 entspricht einer jeden Modulklasse eines quadratischen Körpers
eine Klasse binärer