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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.20

Satz 115. Die Anzahl der Idealklassen in einem speziellen Dirichletschen biquadratischen Körper $K\left({\sqrt {+m}},\ {\sqrt {-m}}\right)$ ist gleich dem Produkt der Klassenanzahlen in den quadratischen Körpern $k\left({\sqrt {+m}}\right)$ und $k\left({\sqrt {-m}}\right)$ oder gleich der Hälfte dieses Produktes, je nachdem für die Grundeinheit des Körpers $K$ die Relativnorm in bezug auf $k\left({\sqrt {-1}}\right)$ gleich $\pm i$ oder gleich $\pm 1$ wird.

Dieses Resultat bezeichnet Dirichlet als einen der schönsten Sätze der Theorie der imaginären Zahlen und als überraschend, weil durch dasselbe ein Zusammenhang zwischen denjenigen quadratischen Körpern aufgedeckt wird, die durch Quadratwurzeln aus entgegengesetzten reellen Zahlen bestimmt sind.

Bei dem rein arithmetischen Beweise dieses Satzes gelingt es zugleich in sehr einfacher Weise, und zwar durch bestimmte Bedingungen für die Geschlechtscharaktere, diejenigen Idealklassen des biquadratischen Körpers $K\left({\sqrt {+m}},\ {\sqrt {-m}}\right)$ zu kennzeichnen, welche als Produkte aus einer Idealklasse von $k\left({\sqrt {+m}}\right)$ und einer Idealklasse von $k\left({\sqrt {-m}}\right)$ erhalten werden können [Hilbert (5^[1])].

20. Die Zahlringe und Moduln des quadratischen Körpers.

§ 88. Die Zahlringe des quadratischen Körpers.

Die Theorie der Ringe und Moduln eines quadratischen Körpers erledigt sich rasch durch Spezialisierung der allgemeinen in Kapitel 9 entwickelten Sätze. Man findet leicht, daß jeder Ring $r$ des Körpers $k$ durch eine einzige Zahl von der Gestalt $\varrho =f\omega$ erzeugt werden kann, wo $\omega$ die in § 59 definierte Zahl bedeutet, die mit 1 zusammen eine Basis von $k$ bildet, und wo $f$ eine gewisse positive ganze Zahl, nämlich den Führer des Ringes $r$, bezeichnet. Ist insbesondere $d$ negativ und außerdem $<-4$, so findet sich nach Satz 66 die Anzahl $h_{r}$ der regulären Ringklassen des Ringes $r$ durch die Formel

$h_{r}=hf\prod \limits _{(p)}\left(1-\left({\frac {d}{p}}\right){\frac {1}{p}}\right)$

ausgedrückt, wo das Produkt über alle in $f$ enthaltenen voneinander verschiedenen rationalen Primzahlen $p$ zu erstrecken ist [Dedekind (1^[2], 3^[3])].

§ 89. Ein Satz von den Modulklassen des quadratischen Körpers. Die binären quadratischen Formen.

Betreffs der Modulklassen endlich gilt im quadratischen Körper die folgende Tatsache:

Satz 116. In einer beliebigen Modulklasse des quadratischen Körpers $k$ gibt es stets reguläre Ringideale [Dedekind (1^[2])].

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1. Über den Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper. Math. Ann. 45 (1894).
2. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
3. Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 192. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/209&oldid=- (Version vom 21.1.2022)