ist, d. h.: wenn
ist, so ist
. Nehmen wir diese Tatsache zur Zeile 2 der obigen Tabelle hinzu, so folgt allgemein
. Aus dem Inhalte der Zeile 3 folgt
. Aus Zeile 4 und 5 folgt
; Zeile 6 ergibt nur, daß aus
auch
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folgt.
Um allgemein das Reziprozitätsgesetz für zwei rationale Primzahlen
,
, die beide kongruent 3 nach 4 sind, nachzuweisen, betrachtet man am einfachsten den quadratischen Körper
. Da wegen
die Norm der Grundeinheiten
dieses Körpers jedenfalls gleich
sein muß, so gibt es nach Satz 90 eine ganze Zahl
in
von der Beschaffenheit, daß
wird, wo
die zu
konjugierte Zahl bedeutet, und hieraus schließen wir leicht, daß das in
enthaltene ambige Primideal
notwendig ein Hauptideal sein muß. Folglich ist bei geeigneter Wahl des Vorzeichens gleichzeitig
und ,
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es ist daher in jedem Falle
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das heißt mit Rücksicht auf die Formel (c') in Satz 98
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Hilfssatz 14. Wenn
und
zwei beliebige ganze rationale Zahlen bedeuten, welche nicht beide negativ sind, so ist
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wo das Produkt linker Hand über sämtliche rationale Primzahlen
zu erstrecken ist.
Beweis. Bedeuten
,
beliebige rationale ungerade, voneinander verschiedene Primzahlen, so folgen aus den Regeln (a’’), (b’), (b’’) in § 64 und aus Satz 101 leicht die Formeln:
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