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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

$\left({\frac {2,-q}{q}}\right)=\left({\frac {2}{q}}\right)=+1$ ist, d. h.: wenn $(-1)^{\frac {r^{2}-1}{8}}=+1$ ist, so ist $\left({\frac {2}{r}}\right)=+1$. Nehmen wir diese Tatsache zur Zeile 2 der obigen Tabelle hinzu, so folgt allgemein $\left({\frac {2}{r}}\right)=(-1)^{\frac {r^{2}-1}{8}}$. Aus dem Inhalte der Zeile 3 folgt $\left({\frac {p}{p'}}\right)=\left({\frac {p'}{p}}\right)$. Aus Zeile 4 und 5 folgt $\left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q}{p}}\right)$; Zeile 6 ergibt nur, daß aus

$\left({\frac {-q}{q'}}\right)=+1$ auch $\left({\frac {q'}{q}}\right)=+1$

folgt.

Um allgemein das Reziprozitätsgesetz für zwei rationale Primzahlen $q$, $q'$, die beide kongruent 3 nach 4 sind, nachzuweisen, betrachtet man am einfachsten den quadratischen Körper $k({\sqrt {qq'}})$. Da wegen $\left({\frac {-1,qq'}{q}}\right)=-1$ die Norm der Grundeinheiten $\varepsilon$ dieses Körpers jedenfalls gleich $+1$ sein muß, so gibt es nach Satz 90 eine ganze Zahl $\alpha$ in $k({\sqrt {qq'}})$ von der Beschaffenheit, daß $\varepsilon =\alpha ^{1-s}={\frac {\alpha }{s\alpha }}$ wird, wo $s\alpha$ die zu $\alpha$ konjugierte Zahl bedeutet, und hieraus schließen wir leicht, daß das in $q$ enthaltene ambige Primideal ${\mathfrak {q}}$ notwendig ein Hauptideal sein muß. Folglich ist bei geeigneter Wahl des Vorzeichens gleichzeitig

$\left({\frac {\pm q,qq'}{q}}\right)=+1$ und $\left({\frac {\pm q,qq'}{q'}}\right)=+1$,

es ist daher in jedem Falle

$\left({\frac {q,qq'}{q}}\right)=\left({\frac {q,qq'}{q'}}\right)$

das heißt mit Rücksicht auf die Formel (c') in Satz 98

$-\left({\frac {q'}{q}}\right)=\left({\frac {q}{q'}}\right)$

Hilfssatz 14. Wenn $n$ und $m$ zwei beliebige ganze rationale Zahlen bedeuten, welche nicht beide negativ sind, so ist

$\prod _{(w)}\left({\frac {n,m}{w}}\right)=+1$

wo das Produkt linker Hand über sämtliche rationale Primzahlen $w$ zu erstrecken ist.

Beweis. Bedeuten $p$, $q$ beliebige rationale ungerade, voneinander verschiedene Primzahlen, so folgen aus den Regeln (a’’), (b’), (b’’) in § 64 und aus Satz 101 leicht die Formeln:

${\begin{aligned}\left({\frac {-1,2}{2}}\right)=+1,&\qquad &\left({\frac {-1,p}{2}}\right)\left({\frac {-1,p}{p}}\right)=+1,\\\left({\frac {2,2}{2}}\right)=+1,&&\left({\frac {2,p}{2}}\right)\left({\frac {2,p}{p}}\right)=+1,\\\left({\frac {p,p}{2}}\right)\left({\frac {p,p}{p}}\right)=+1,&&\left({\frac {p,q}{2}}\right)\left({\frac {p,q}{p}}\right)\left({\frac {p,q}{q}}\right)=+1;\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 171. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/188&oldid=- (Version vom 31.7.2018)