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ist, d. h.: wenn ist, so ist . Nehmen wir diese Tatsache zur Zeile 2 der obigen Tabelle hinzu, so folgt allgemein . Aus dem Inhalte der Zeile 3 folgt . Aus Zeile 4 und 5 folgt ; Zeile 6 ergibt nur, daß aus

auch

folgt.

Um allgemein das Reziprozitätsgesetz für zwei rationale Primzahlen , , die beide kongruent 3 nach 4 sind, nachzuweisen, betrachtet man am einfachsten den quadratischen Körper . Da wegen die Norm der Grundeinheiten dieses Körpers jedenfalls gleich sein muß, so gibt es nach Satz 90 eine ganze Zahl in von der Beschaffenheit, daß wird, wo die zu konjugierte Zahl bedeutet, und hieraus schließen wir leicht, daß das in enthaltene ambige Primideal notwendig ein Hauptideal sein muß. Folglich ist bei geeigneter Wahl des Vorzeichens gleichzeitig

und ,

es ist daher in jedem Falle

das heißt mit Rücksicht auf die Formel (c') in Satz 98

Hilfssatz 14. Wenn und zwei beliebige ganze rationale Zahlen bedeuten, welche nicht beide negativ sind, so ist

wo das Produkt linker Hand über sämtliche rationale Primzahlen zu erstrecken ist.

Beweis. Bedeuten , beliebige rationale ungerade, voneinander verschiedene Primzahlen, so folgen aus den Regeln (a’’), (b’), (b’’) in § 64 und aus Satz 101 leicht die Formeln:

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 171. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/188&oldid=- (Version vom 31.7.2018)