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Beweis. Ist ein Körper, dessen Diskriminante nur eine Primzahl enthält, und bedeutet die Norm eines Ideals in diesem Körper , so ist nach dem Hilfssatze 13 stets . Nun ist nach Satz 96 oder 97 insbesondere jede positive ungerade und in nicht aufgehende rationale Primzahl, von welcher quadratischer Rest ist, Norm eines Ideals in . Die Benutzung dieses Umstandes liefert uns die nachstehende Tabelle; in derselben bedeuten , irgend voneinander verschiedene positive rationale und der Zahl nach kongruente Primzahlen, und andererseits bedeuten , voneinander verschiedene positive rationale und der Zahl nach kongruente Primzahlen, während eine positive rationale ungerade Primzahl bezeichnet, von welcher kein bestimmter Restcharakter nach vorausgesetzt wird.

Wenn: so ist:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Nehmen wir die in einem Körper aus folgende Tatsache, daß ist, zur Zeile 1 dieser Tabelle hinzu, so folgt allgemein . Wenden wir ferner die am Eingange dieses Beweises genannte Tatsache auf die Primzahl an, und berücksichtigen wir, daß die Zahl stets gleich der Norm eines Ideals in oder in ist, sobald , bezüglich statthat, so folgt, daß unter der letzteren Voraussetzung stets , bezüglich

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 170. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/187&oldid=- (Version vom 31.7.2018)