Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/187

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

Beweis. Ist $k({\sqrt {m}})$ ein Körper, dessen Diskriminante nur eine Primzahl $l$ enthält, und bedeutet $n$ die Norm eines Ideals in diesem Körper $k$, so ist nach dem Hilfssatze 13 stets $\left({\frac {n,\,m}{l}}\right)=+1$. Nun ist nach Satz 96 oder 97 insbesondere jede positive ungerade und in $m$ nicht aufgehende rationale Primzahl, von welcher $m$ quadratischer Rest ist, Norm eines Ideals in $k({\sqrt {m}})$. Die Benutzung dieses Umstandes liefert uns die nachstehende Tabelle; in derselben bedeuten $p$, $p'$ irgend voneinander verschiedene positive rationale und der Zahl $1$ nach $4$ kongruente Primzahlen, und andererseits bedeuten $q$, $q'$ voneinander verschiedene positive rationale und der Zahl $3$ nach $4$ kongruente Primzahlen, während $r$ eine positive rationale ungerade Primzahl bezeichnet, von welcher kein bestimmter Restcharakter nach $4$ vorausgesetzt wird.

				Wenn:	so ist:
	$m$	$l$	$n$	$\left({\frac {m}{n}}\right)=+1$	$\left({\frac {n,\,m}{l}}\right)=+1$
1.	$-1$	$2$	$r$	$\left({\frac {-1}{r}}\right)=+1$	$\left({\frac {r,\,-1}{2}}\right)=(-1)^{\frac {r-1}{2}}=+1$
2.	$2$	$2$	$r$	$\left({\frac {2}{r}}\right)=+1$	$\left({\frac {r,\,2}{2}}\right)=(-1)^{\frac {r^{2}-1}{8}}=+1$
3.	$p$	$p$	$p'$	$\left({\frac {p}{p'}}\right)=+1$	$\left({\frac {p',\,p}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{p}}\right)=+1$
4.	$p$	$p$	$q$	$\left({\frac {p}{q}}\right)=+1$	$\left(-{\frac {q,\,p}{p}}\right)=\left({\frac {q}{p}}\right)=+1$
5.	$-q$	$q$	$p$	$\left({\frac {-q}{p}}\right)=+1$	$\left({\frac {p,\,-q}{q}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)=+1$
6.	$-q$	$q$	$q'$	$\left({\frac {-q}{q'}}=\right)+1$	$\left({\frac {q',\,-q}{q}}\right)=\left({\frac {q'}{q}}\right)=+1$

Nehmen wir die in einem Körper $k({\sqrt {p}})$ aus $n(\varepsilon )=-1$ folgende Tatsache, daß $\left({\frac {-1}{p}}\right)=+1$ ist, zur Zeile 1 dieser Tabelle hinzu, so folgt allgemein $\left({\frac {-1}{r}}\right)=(-1)^{\frac {r-1}{2}}$. Wenden wir ferner die am Eingange dieses Beweises genannte Tatsache auf die Primzahl $n=2$ an, und berücksichtigen wir, daß die Zahl $2$ stets gleich der Norm eines Ideals in $k({\sqrt {p}})$ oder in $k({\sqrt {-q}})$ ist, sobald $(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=+1$, bezüglich $(-1)^{\frac {q^{2}-1}{8}}=+1$ statthat, so folgt, daß unter der letzteren Voraussetzung stets $\left({\frac {2,\,p}{p}}\right)=\left({\frac {2}{p}}\right)=+1$, bezüglich

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 170. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/187&oldid=- (Version vom 31.7.2018)