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Um nun zunächst für ein ungerades das Symbol zu bestimmen, müssen wir untersuchen, für welche zusammengehörigen Werte von und die Kongruenzen

(23)

lösbar sind. Eine kurze Rechnung liefert folgende Tabelle, in welcher unter der Rubrik die sechs hier in Frage kommenden Reste von nach und unter der Rubrik diejenigen ungeraden Reste von nach verzeichnet stehen, für welche jedesmal die zugehörige Kongruenz (23) nach lösbar ist.

1 1, 3, 5, 7
2 1, 7
3 1, 5
5 1, 3, 5, 7
6 1, 3
7 1, 5

Diese Tabelle lehrt für den Fall, daß , ungerade sind, die Richtigkeit der Gleichung ; und für den Fall, daß ungerade und gerade, , ist, entspringt aus ihr:

.

Ist andererseits gerade, ‚ und ungerade, so haben wir die beiden Fälle und nach zu unterscheiden. Im ersteren Falle muß die Zahl im Körper jedenfalls das Produkt zweier verschiedener Primideale sein, sobald Normenrest nach 2 in sein soll, d. h. es muß sein. Ist diese Bedingung erfüllt, so kann man stets in eine Zahl finden, für welche die Norm durch , aber nicht durch teilbar ist; dann folgt:

,

und dieses letztere Symbol ist nach Formel gleich ; mithin gilt in diesem Falle die Formel:

.