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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

Kongruenz $n\equiv x^{2}-my^{2}$ nach $w$ folgt leicht, daß diese Kongruenz auch nach jeder Potenz von $w$ lösbar ist, d. h. es wird unter den gegenwärtigen Annahmen

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=+1$.

Setzen wir andererseits $n$ durch $w$ teilbar voraus, aber der anfänglichen Festsetzung zufolge nicht teilbar durch $w^{2}$, so würde eine Auflösung der Kongruenz $n\equiv x^{2}-my^{2}$ nach $w^{2}$ in $\alpha =x-{\sqrt {m}}y$ eine solche ganze Zahl des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ darbieten, für welche die Norm $\alpha \cdot s\alpha =n(\alpha )$ nur $w$, aber nicht $w^{2}$ als Faktor enthielte, d. h. $w$ zerfiele im Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ in zwei voneinander verschiedene Primideale ${\mathfrak {w}}$ und ${\mathfrak {w}}'$; die notwendige Bedingung hierfür ist nach

Satz 97: $\textstyle \left({\frac {m}{w}}\right)=+1$. Umgekehrt, wenn diese Bedingung erfüllt ist, so ist in der Tat $w$ im Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ ein Produkt ${\mathfrak {ww}}'$ zweier verschiedener Primideale. Bezeichnet dann $\alpha$ eine ganze Zahl in $k\left({\sqrt {m}}\right)$, welche durch $w$, aber weder durch ${\mathfrak {w}}^{2}$ noch durch ${\mathfrak {w}}'$ teilbar ist, so folgt:

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {n\cdot n(\alpha ),\,m}{w}}\right)=\left({\frac {{\frac {n\cdot n(\alpha )}{w^{2}}},\,m}{w}}\right)=+1$.

Damit ist bewiesen, daß unter der gegenwärtigen Annahme stets $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {m}{w}}\right)$ ist.

Die bisher gewonnenen Resultate lassen unmittelbar die Richtigkeit der Formeln $(a')$‚ $(a'')$ erkennen; ferner ergeben sie für ungerade Primzahlen $w$ vollständig die Formeln $(c'')$‚ $(c''')$‚ wenn man der Reihe nach die verschiedenen möglichen Fälle in Hinsicht auf Teilbarkeit oder Nichtteilbarkeit der Zahlen $n$, $n'$, $m$ durch $w$ in Betracht zieht.

     3. Im Falle $w=2$ stellen wir zunächst folgende Betrachtung an: Es sei $f(x,\,y)$ eine ganzzahlige homogene Funktion zweiten Grades von $x$, $y$ und $n$ eine ungerade ganze rationale Zahl; wenn die Kongruenz $n\equiv f(x,\,y)$ nach $2^{3}$ durch ganze rationale Zahlen $x$, $y$ lösbar ist, so ist diese Kongruenz auch nach jeder höheren Potenz $2^{e+1}(e\geqq 3)$ lösbar. Wir beweisen dies durch einen Schluß von $e$ auf $e+1$. Es seien $a$, $b$ zwei ganze rationale Zahlen, für welche $n\equiv f(a,\,b)$ nach $2^{e}$ gilt, wobei der Exponent $e\geqq 3$ sei. Ist dann nicht auch zugleich $n\equiv f(a,\,b)$ nach $2^{e+1}$, sondern vielmehr $n\equiv f(a,\,b)+2^{e}$ nach $2^{e+1}$, so bestimmen wir, was wegen $e\geqq 3$ angängig ist, eine ganze rationale Zahl $c$ derart, daß $c^{2}\equiv 1+2^{e}$ nach $2^{e+1}$ ist; dann wird

$f(ca,\,cb)=c^{2}f(a,\,b)\equiv f(a,\,b)+2^{e}f(a,\,b)\equiv f(a,\,b)+2^{e}\equiv n,\,(2^{e+1})$,

und hiermit ist die Behauptung bewiesen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 164. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/181&oldid=- (Version vom 31.7.2018)