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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.16

Beweis. Der erste Teil dieser Behauptung, welcher sich auf die in $d$ aufgehenden Primzahlen $l$ bezieht, ist eine Folge des allgemeinen Satzes 31. Ist $l$ eine in $d$ aufgehende ungerade Primzahl, so finden wir

$l={\mathfrak {l}}^{2}$,

wo ${\mathfrak {l}}=(l,\,{\sqrt {m}})$ ein Primideal ersten Grades ist, welches seinem konjugierten gleich wird. Geht die Primzahl $2$ in $d$ auf, so wird

$2=\left(2,\,{\sqrt {m}}\right)^{2}$, bzw. $2=\left(2,\,1+{\sqrt {m}}\right)^{2}$,

je nachdem $m\equiv 2$ oder $\equiv 3$ nach $4$ ist.

Die Zerlegung der in $d$ nicht aufgehenden Primzahlen geschieht auf Grund des Satzes 33 unter Berücksichtigung der zu demselben in § 13 S. 91 gemachten Bemerkung. Danach ist eine jede zu $d$ prime rationale Primzahl $p$ im Körper $k$ entweder in zwei voneinander verschiedene Primideale zerlegbar oder selbst ein Primideal, je nachdem die linke Seite der in Betracht kommenden Gleichung (21) im Sinne der Kongruenz nach $p$ reduzibel oder irreduzibel ist. Ist die betreffende Primzahl $p$ ungerade, so finden wir die Kongruenz

$(2x-1)^{2}-m\equiv 0$, bez. $x^{2}-m\equiv 0$, ($p$)

offenbar dann reduzibel, wenn $m$ quadratischer Rest nach $p$ ist, und dann irreduzibel, wenn $m$ quadratischer Nichtrest nach $p$ ist. Setzen wir im ersteren Falle $m\equiv a^{2}$ nach $p$, so ergibt sich:

$p=(p,a+{\sqrt {m}})(p,a-{\sqrt {m}})={\mathfrak {pp}}'.$

Die beiden Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {p}}'$ rechter Hand sind wegen

$(p,a+{\sqrt {m}},a-{\sqrt {m}})=1$

in der Tat voneinander verschieden. Im Falle $m\equiv 1$ nach $4$ ist die Kongruenz $x^{2}-x-{\frac {m-1}{4}}\equiv 0$ nach $2$ offenbar reduzibel oder irreduzibel‚ je nachdem ${\frac {m-1}{4}}\equiv 0$ oder $\equiv 1$ nach $2$ ist, d. h. je nachdem $m\equiv 1$ oder $\equiv 5$ nach $8$ ausfällt. Im ersteren Falle findet man:

$2=\left(2,{\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}\right)\left(2,{\frac {1-{\sqrt {m}}}{2}}\right).$

Die beiden Primideale rechter Hand sind wegen

$\left(2,{\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}},{\frac {1-{\sqrt {m}}}{2}}\right)=1$

in der Tat voneinander verschieden.

Als Basiszahlen der eben aufgestellten Primideale können dienen:

${\begin{array}{rcl}l,{\frac {l+{\sqrt {m}}}{2}},&{\text{bez.}}&l,{\sqrt {m}},\\p,{\frac {a\pm {\sqrt {m}}}{2}},&,,&p,a\pm {\sqrt {m}},\\2,{\frac {1\pm {\sqrt {m}}}{2}},&,,&2,{\sqrt {m}};2,1+{\sqrt {m}},\end{array}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 159. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/176&oldid=- (Version vom 31.7.2018)