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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.15

sei ${\mathsf {P}}$ eine den Körper $K$ bestimmende Zahl. Es genügt dann ${\mathsf {P}}$ einer Gleichung $l$-ten Grades von der Gestalt:

$F({\mathsf {P}})=P^{l}+\alpha _{1}{\mathsf {P}}^{l-1}+\dots +\alpha _{l}=0,$

deren Koeffizienten $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{l}$, ganze Zahlen in $k$ sind. Wir setzen

$\alpha _{1}\equiv f_{1}(\varrho ),\dots ,\alpha _{l}\equiv f_{l}(\varrho ),\qquad ({\mathfrak {p}}),$

wo $f_{1}(\varrho )$‚ …‚ $f_{l}(\varrho )$ ganzzahlige Funktionen von $\varrho$ sind, und erhalten so für ${\mathsf {P}}$ die Kongruenz:

$F({\mathsf {P}})\equiv P^{l}+f_{1}(\varrho ){\mathsf {P}}^{l-1}+\dots +f_{l}(\varrho )\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {p}}).$

Da wegen $N({\mathfrak {p}})=(n({\mathfrak {p}}))^{l}$ die Anzahl der in $K$ vorhandenen, nach ${\mathfrak {p}}$ inkongruenten ganzen Zahlen gleich der $l$-ten Potenz der Anzahl der in $k$ vorhandenen nach $p$ inkongruenten ganzen Zahlen ist, so kann ${\mathsf {P}}$ keiner Kongruenz niederen als $l$-ten Grades von der nämlichen Art genügen, und daher ist notwendig ${\frac {\partial F({\mathsf {P}})}{\partial P}}\not \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$; d. h. die Relativdifferente der Zahl ${\mathsf {P}}$ ist nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar. Durch diese Betrachtungen ist gezeigt, daß die Relativdifferente des Körpers $K$ stets prim zu den Primidealen der zweiten und dritten Art ist, und hieraus ergibt sich die Richtigkeit des Satzes 93.

§ 58. Der Fundamentalsatz von den relativ-zyklischen Körpern mit der Relativdifferente $1$. Die Bezeichnung dieser Körper als Klassenkörper.

Die Sätze 90, 92 und 93 ermöglichen uns die Erkenntnis einer Tatsache, welche für die Theorie der Zahlkörper von weittragender Bedeutung ist. Diese Tatsache ist folgende:

Satz 94. Wenn der relativ-zyklische Körper $K$ von ungeradem Primzahl-Relativgrade $l$ die Relativdifferente $1$ in bezug auf $k$ besitzt, so gibt es stets in $k$ ein Ideal ${\mathfrak {j}}$, welches nicht Hauptideal in $k$ ist, wohl aber ein Hauptideal in $K$ wird. Die $l$-te Potenz dieses Ideals ${\mathfrak {j}}$ ist dann notwendig auch in $k$ ein Hauptideal, und die Klassenanzahl des Körpers $k$ ist mithin durch $l$ teilbar.

Beweis. Nach Satz 92 gibt es eine Einheit ${\mathsf {H}}$ mit der Relativnorm $1$, welche nicht die $(1-S)$-te Potenz einer Einheit ist. Nach Satz 90 ist ${\mathsf {H}}={\mathsf {A}}^{1-S}$, wo ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl in ${\mathsf {K}}$ bedeutet; d. h. es ist ${\mathsf {A}}={\mathsf {H}}\cdot S{\mathsf {A}}$. Für das Hauptideal ${\mathfrak {A}}=({\mathsf {A}})$ folgt hieraus ${\mathfrak {A}}=S{\mathfrak {A}}$. Das Ideal ${\mathfrak {A}}$ liegt im Körper $k$. Denn ist ${\mathfrak {P}}$ irgendein in ${\mathfrak {A}}$ aufgehendes Primideal des Körpers $K$, welches nicht in $k$ liegt, so ist nach Satz 93, da wegen der Voraussetzung die Relativdiskriminante keine Teiler besitzt, ${\mathfrak {P}}\not \equiv S{\mathfrak {P}}$, und folglich enthält ${\mathsf {A}}$ auch die Relativnorm $N_{k}({\mathfrak {P}})$, welche ein in $k$ liegendes Primideal ist. Das Ideal ${\mathsf {A}}$ ist kein Hauptideal im Körper $k$; denn in diesem Falle wäre ${\mathsf {A}}={\mathsf {H}}^{*}\alpha$, wo ${\mathsf {H}}^{*}$ eine Einheit und $\alpha$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 155. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/172&oldid=- (Version vom 31.7.2018)