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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.15

dann folgt, daß es stets $r+1$ ganze rationale Zahlen $a_{1}$, …‚ $a_{r+1}$ gibt, welche nicht sämtlich durch $l$ teilbar sind, und für welche $\eta _{1}^{a_{1}}\dots \eta _{r+1}^{a_{r+1}}=1$ wird. In der Tat, wären in einer Gleichung von der letzteren Gestalt die Exponenten $a_{1}$, …, $a_{r+1}$ sämtlich durch $l$ teilbar, so müßte $\eta _{1}^{\frac {a_{1}}{l}}\dots \eta _{r+1}^{\frac {a_{r+1}}{l}}$ eine $l$-te Einheitswurzel und demnach infolge der Voraussetzung $=1$ sein; hieraus ergibt sich durch Wiederholung des Verfahrens das Gesagte. Nehmen wir nun $\eta _{1}$, …, $\eta _{r+1}$ gleich den Relativnormen von ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{r+1}$, wo ${\mathsf {H}}_{1}$, …‚ ${\mathsf {H}}_{r+1}$ ein System von relativen Grundeinheiten in $K$ sind, und setzen dann ${\mathsf {H}}={\mathsf {H}}_{1}^{a_{1}}\dots {\mathsf {H}}_{r+1}^{a_{r+1}}$, so folgt $N_{k}({\mathsf {H}})={\mathsf {H}}^{1+S+S^{2}+\dots +S^{t-1}}=1$ und daher nach dem Satz 90: ${\mathsf {H}}=A^{1-S}$; da ${\mathsf {H}}_{1}$, …‚ $H_{r+1}$ relative Grundeinheiten sind, so ist die Zahl $A$ keine Einheit.

Um den Satz 92 allgemein zu beweisen, werde angenommen, daß $k$ die primitive $l^{h}$-te Einheitswurzel $\zeta '$, aber nicht die primitive $l^{h+1}$-te Einheitswurzel enthielte. Durch ein ähnliches Verfahren, wie das oben angewandte, wird erkannt, daß, wenn $\eta _{1}$, …‚ $\eta _{r+2}$ irgendwelche $r+2$ Einheiten in $k$ sind, stets eine ganze rationale Zahl $a$ und ferner $r+2$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Zahlen $a_{1}$, …‚ $a_{r+2}$ von der Art gefunden werden können, daß

$\eta _{1}^{a_{1}}\dots \eta _{r+2}^{a_{r+2}}=\zeta '^{al}$

ist.

Andererseits bedenke man, daß die Relativnorm

$N_{k}(\zeta )=\zeta ^{1+S+S^{2}+\dots +S^{t-1}}=1$

wird und daher nach Satz 90 $\zeta$ eine $(1-S)$-te symbolische Potenz werden muß. Gäbe es nun keine Einheit ${\mathsf {E}}$ in $K$, so daß $\zeta ={\mathsf {E}}^{1-S}$ ist, so wäre bereits $\zeta$ eine Zahl von der gewünschten Beschaffenheit. Im anderen Falle folgt ${\mathsf {E}}^{l(1-S)}=1$, d. h. ${\mathsf {E}}^{l}=S{\mathsf {E}}^{l}$, und daher stellt ${\mathsf {E}}^{l}$ eine Einheit $\varepsilon$ in $k$ dar, während ${\mathsf {E}}$ selbst gewiß nicht in $k$ liegt. Wegen ${\mathsf {E}}={\sqrt[{l}]{\varepsilon }}$ ergibt sich $N_{k}({\mathsf {E}})=E^{l}=\varepsilon$. Es sei ${\mathsf {H}}_{1}$, …, $H_{r+1}$ ein System von relativen Grundeinheiten in $K$; wir setzen nun:

${\begin{aligned}\eta _{1}&=N_{k}({\mathsf {H}}_{1}),\ldots ,\eta _{r+1}=N_{k}({\mathsf {H}}_{r+1}),\eta _{r+2}=N_{k}({\mathsf {E}})={\mathsf {E}}^{l},\\{\mathsf {H}}&={\mathsf {H}}_{1}^{a_{1}}\dots {\mathsf {H}}_{r+1}^{a_{r+1}}{\mathsf {E}}^{a_{r+2}}\zeta '^{-a}={\mathsf {H}}_{1}^{a_{1}}\dots {\mathsf {H}}_{r+1}^{a_{r+1}}[\varepsilon ],\end{aligned}}$

wo $a$, $a_{1}$, …, $a_{r+2}$ die vorhin bestimmten Zahlen sind und $[\varepsilon ]$ die $l$-te Wurzel aus einer Einheit des Körpers $k$ bedeutet; dann wird $N_{k}({\mathsf {H}})=1$. Die Zahlen $a_{1}$, …, $a_{r+1}$ können nicht sämtlich durch $l$ teilbar sein. Denn aus

$\left(\eta _{1}^{\frac {a_{1}}{l}}\dots \eta _{r+1}^{\frac {a_{r+1}}{l}}{\mathsf {E}}^{a_{r+2}}\zeta '^{-a}\right)^{l}=1$

würde dann

$\eta _{1}^{\frac {a_{1}}{l}}\dots \eta _{r+1}^{\frac {a_{r+1}}{l}}{\mathsf {E}}^{a_{r+2}}\zeta '^{-a}=\zeta ^{b}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 153. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/170&oldid=- (Version vom 31.7.2018)