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wo , …‚ gewisse ganze rationale Funktionen von sind und etwa nicht durch teilbar sein möge; hat die frühere Bedeutung, und ist eine gewisse Einheit des Körpers . Des weiteren nehmen wir an, es sei die größte ganze Zahl von der Beschaffenheit, daß ein entsprechend aus den Einheiten , …, gebildeter Ausdruck existiert, der die -te symbolische Potenz einer Einheit in wird; es sei etwa ein solcher Ausdruck:

wo , …, wiederum gewisse ganze rationale Funktionen von sind und etwa nicht durch teilbar sein möge; bedeutet eine Einheit in . So fortfahrend, gelangen wir zu Einheiten , , …, ; dieselben bilden ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers .

Um dies zu zeigen, nehmen wir im Gegenteil an, es gäbe ganze rationale Funktionen , …, derart, daß

wird, wo eine Einheit in bedeutet; es sei ferner unter den Zahlen , …, etwa die erste nicht durch teilbare Zahl: dann wäre offenbar auch der Teil

des letzten Produkts die -te symbolische Potenz einer Einheit des Körpers . Da aber in der Reihe der Zahlen , , …, keine folgende größer ist als die vorhergehende, so stoßen wir, wenn wir den letzten Ausdruck in die -te Potenz erheben und dann wieder die Einheiten , …, einführen, auf einen Widerspruch mit unseren Festsetzungen.

Der eben bewiesene Satz 91 gilt, wie leicht ersichtlich, auch für , wenn in diesem Falle noch der Umstand hinzukommt, daß unter den durch bestimmten einander konjugierten Körpern doppelt so viel reelle Körper als unter den durch bestimmten konjugierten Körpern vorhanden sind.

§ 56. Die Existenz einer Einheit in , welche die Relativnorm besitzt und doch nicht dem Quotienten zweier relativ-konjugierten Einheiten gleich wird.

Satz 92. Falls der Relativgrad des relativ-zyklischen Körpers in bezug auf den Körper eine ungerade Primzahl ist, gibt es in stets eine Einheit , deren Relativnorm in bezug auf gleich ausfällt, und welche doch nicht die symbolische -te Potenz von einer Einheit des Körpers ist.

Beweis. Wir nehmen zunächst an, daß der Körper nicht die -te Einheitswurzel enthält. Es seien , …, irgend Einheiten in ;

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 152. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/169&oldid=- (Version vom 31.7.2018)