wo , …‚ gewisse ganze rationale Funktionen von sind und etwa nicht durch teilbar sein möge; hat die frühere Bedeutung, und ist eine gewisse Einheit des Körpers . Des weiteren nehmen wir an, es sei die größte ganze Zahl von der Beschaffenheit, daß ein entsprechend aus den Einheiten , …, gebildeter Ausdruck existiert, der die -te symbolische Potenz einer Einheit in wird; es sei etwa ein solcher Ausdruck:
wo , …, wiederum gewisse ganze rationale Funktionen von sind und etwa nicht durch teilbar sein möge; bedeutet eine Einheit in . So fortfahrend, gelangen wir zu Einheiten , , …, ; dieselben bilden ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers .
Um dies zu zeigen, nehmen wir im Gegenteil an, es gäbe ganze rationale Funktionen , …, derart, daß
wird, wo eine Einheit in bedeutet; es sei ferner unter den Zahlen , …, etwa die erste nicht durch teilbare Zahl: dann wäre offenbar auch der Teil
des letzten Produkts die -te symbolische Potenz einer Einheit des Körpers . Da aber in der Reihe der Zahlen , , …, keine folgende größer ist als die vorhergehende, so stoßen wir, wenn wir den letzten Ausdruck in die -te Potenz erheben und dann wieder die Einheiten , …, einführen, auf einen Widerspruch mit unseren Festsetzungen.
Der eben bewiesene Satz 91 gilt, wie leicht ersichtlich, auch für , wenn in diesem Falle noch der Umstand hinzukommt, daß unter den durch bestimmten einander konjugierten Körpern doppelt so viel reelle Körper als unter den durch bestimmten konjugierten Körpern vorhanden sind.
Satz 92. Falls der Relativgrad des relativ-zyklischen Körpers in bezug auf den Körper eine ungerade Primzahl ist, gibt es in stets eine Einheit , deren Relativnorm in bezug auf gleich ausfällt, und welche doch nicht die symbolische -te Potenz von einer Einheit des Körpers ist.
Beweis. Wir nehmen zunächst an, daß der Körper nicht die -te Einheitswurzel enthält. Es seien , …, irgend Einheiten in ;
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 152. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/169&oldid=- (Version vom 31.7.2018)