wo
, …‚
gewisse ganze rationale Funktionen von
sind und etwa
nicht durch
teilbar sein möge;
hat die frühere Bedeutung,
und
ist eine gewisse Einheit des Körpers
. Des weiteren nehmen wir an, es sei
die größte ganze Zahl
von der Beschaffenheit, daß ein entsprechend aus den Einheiten
, …,
gebildeter Ausdruck existiert, der die
-te symbolische Potenz einer Einheit in
wird; es sei etwa ein solcher Ausdruck:
|
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wo
, …,
wiederum gewisse ganze rationale Funktionen von
sind und etwa
nicht durch
teilbar sein möge;
bedeutet eine Einheit in
. So fortfahrend, gelangen wir zu
Einheiten
,
, …,
; dieselben bilden ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers
.
Um dies zu zeigen, nehmen wir im Gegenteil an, es gäbe
ganze rationale Funktionen
, …,
derart, daß
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wird, wo
eine Einheit in
bedeutet; es sei ferner unter den Zahlen
, …,
etwa
die erste nicht durch
teilbare Zahl: dann wäre offenbar auch der Teil
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des letzten Produkts die
-te symbolische Potenz einer Einheit des Körpers
. Da aber in der Reihe der Zahlen
,
, …,
keine folgende größer ist als die vorhergehende, so stoßen wir, wenn wir den letzten Ausdruck in die
-te Potenz erheben und dann wieder die Einheiten
, …,
einführen, auf einen Widerspruch mit unseren Festsetzungen.
Der eben bewiesene Satz 91 gilt, wie leicht ersichtlich, auch für
, wenn in diesem Falle noch der Umstand hinzukommt, daß unter den durch
bestimmten
einander konjugierten Körpern doppelt so viel reelle Körper als unter den durch
bestimmten
konjugierten Körpern vorhanden sind.
§ 56.
Die Existenz einer Einheit in
, welche die Relativnorm
besitzt und doch nicht dem Quotienten zweier relativ-konjugierten Einheiten gleich wird.
Satz 92. Falls der Relativgrad
des relativ-zyklischen Körpers
in bezug auf den Körper
eine ungerade Primzahl ist, gibt es in
stets eine Einheit
, deren Relativnorm in bezug auf
gleich
ausfällt, und welche doch nicht die symbolische
-te Potenz von einer Einheit des Körpers
ist.
Beweis. Wir nehmen zunächst an, daß der Körper
nicht die
-te Einheitswurzel
enthält. Es seien
, …,
irgend
Einheiten in
;