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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.15

wo $F_{1}(S)$, …‚ $F_{r+1}(S)$ gewisse ganze rationale Funktionen von $S$ sind und etwa $F_{1}(\zeta )$ nicht durch $1-\zeta$ teilbar sein möge; $[\varepsilon ]$ hat die frühere Bedeutung, und ${\mathsf {H}}_{1}$ ist eine gewisse Einheit des Körpers $K$. Des weiteren nehmen wir an, es sei $e_{2}$ die größte ganze Zahl $\geqq 0$ von der Beschaffenheit, daß ein entsprechend aus den Einheiten ${\mathsf {E}}_{2}$, …, ${\mathsf {E}}_{r+1}$ gebildeter Ausdruck existiert, der die $(1-S)^{e_{2}}$-te symbolische Potenz einer Einheit in $K$ wird; es sei etwa ein solcher Ausdruck:

${\mathsf {E}}_{2}^{F_{2}(S)}\ldots {\mathsf {E}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}[\varepsilon ]={\mathsf {H}}_{2}^{(1-S)^{e_{2}}}$

wo $F_{2}(S)$, …, $F_{r+1}(S)$ wiederum gewisse ganze rationale Funktionen von $S$ sind und etwa $F_{2}(\zeta )$ nicht durch $1-\zeta$ teilbar sein möge; ${\mathsf {H}}_{2}$ bedeutet eine Einheit in $K$. So fortfahrend, gelangen wir zu $r+1$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, ${\mathsf {H}}_{2}$, …, ${\mathsf {H}}_{r+1}$; dieselben bilden ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$.

Um dies zu zeigen, nehmen wir im Gegenteil an, es gäbe $r+1$ ganze rationale Funktionen $G_{1}(S)$, …, $G_{r+1}(S)$ derart, daß

${\mathsf {H}}_{1}^{G_{1}(S)}\ldots {\mathsf {H}}_{r+1}^{G_{r+1}(S)}[\varepsilon ]={\mathsf {Z}}^{1-S}$

wird, wo ${\mathsf {Z}}$ eine Einheit in $K$ bedeutet; es sei ferner unter den Zahlen $G_{1}(\zeta )$, …, $G_{r+1}(\zeta )$ etwa $G_{h}(\zeta )$ die erste nicht durch $1-\zeta$ teilbare Zahl: dann wäre offenbar auch der Teil

${\mathsf {H}}_{h}^{G_{h}(S)}{\mathsf {H}}_{h+1}^{G_{h+1}(S)}\ldots {\mathsf {H}}_{r+1}^{G_{r+1}(S)}[\varepsilon ]$

des letzten Produkts die $(1-S)$-te symbolische Potenz einer Einheit des Körpers $K$. Da aber in der Reihe der Zahlen $e_{1}$, $e_{2}$, …, $e_{r+1}$ keine folgende größer ist als die vorhergehende, so stoßen wir, wenn wir den letzten Ausdruck in die $(1-S)^{e_{h}}$-te Potenz erheben und dann wieder die Einheiten ${\mathsf {E}}_{h}$, …, ${\mathsf {E}}_{r+1}$ einführen, auf einen Widerspruch mit unseren Festsetzungen.

Der eben bewiesene Satz 91 gilt, wie leicht ersichtlich, auch für $l=2$, wenn in diesem Falle noch der Umstand hinzukommt, daß unter den durch $K$ bestimmten $2m$ einander konjugierten Körpern doppelt so viel reelle Körper als unter den durch $k$ bestimmten $m$ konjugierten Körpern vorhanden sind.

§ 56. Die Existenz einer Einheit in $K$, welche die Relativnorm $1$ besitzt und doch nicht dem Quotienten zweier relativ-konjugierten Einheiten gleich wird.

Satz 92. Falls der Relativgrad $l$ des relativ-zyklischen Körpers $K$ in bezug auf den Körper $k$ eine ungerade Primzahl ist, gibt es in $K$ stets eine Einheit ${\mathsf {H}}$, deren Relativnorm in bezug auf $k$ gleich $1$ ausfällt, und welche doch nicht die symbolische $(1-S)$-te Potenz von einer Einheit des Körpers $K$ ist.

Beweis. Wir nehmen zunächst an, daß der Körper $k$ nicht die $l$-te Einheitswurzel $\zeta$ enthält. Es seien $\eta _{1}$, …, $\eta _{r+1}$ irgend $r+1$ Einheiten in $k$;

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 152. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/169&oldid=- (Version vom 31.7.2018)