am Schluß des § 91), so lassen sich zwei ganzzahlige Funktionen
,
von
und eine von
verschiedene ganze rationale Zahl
derart bestimmen, daß
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wird. Hieraus folgt unter Berücksichtigung von
die Gleichung
, welche unserer Annahme zuwider läuft; dabei bedeuten
und
Einheiten in
.
Nunmehr wähle man eine Einheit
so, daß
,
,
, …,
,
, …,
, ein System unabhängiger Einheiten bilden, und beweise dann in ähnlicher Weise, wie vorher, daß auch die Einheiten
,
, …,
,
,
, …,
,
, …‚
, unabhängige Einheiten sind. So fortfahrend, gelangen wir zu
Einheiten
, …‚
von der Beschaffenheit, daß die Einheiten
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ein System von unabhängigen Einheiten bilden. Die Zahl dieser Einheiten beträgt
.
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Es sei nun
eine so hohe Potenz von
, daß ein Ausdruck
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(20)
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in welchem
, …,
beliebige ganzzahlige Funktionen vom
-ten Grade in
bedeuten und
die auf S. 150 erklärte Bedeutung hat, nicht anders eine
-te Potenz einer Einheit in
werden kann, als wenn alle Koeffizienten der
Funktionen
, …,
durch
teilbar sind. Daß es eine solche Potenz
stets geben muß‚ folgt, wenn man die
nach Satz 47 existierenden Grundeinheiten des Körpers
zu Hilfe zieht.
Wir berücksichtigen ferner die Identität
,
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in der
eine ganzzahlige Funktion bedeutet; da hiernach die
-te symbolische Potenz einer Zahl in
zugleich auch eine
-te wirkliche Potenz ist, so folgt, daß der Ausdruck (20) nicht anders die
-te symbolische Potenz einer Einheit werden kann, als wenn die ganzen algebraischen Zahlen
‚ …,
sämtlich durch
teilbar sind.
Es sei nun
die größte ganze rationale Zahl
von der Art, daß ein Ausdruck von der Gestalt (20) eine
-te symbolische Potenz einer Einheit ist, ohne daß sämtliche Zahlen
, …‚
durch
teilbar sind; wir nehmen an, es sei ein solcher Ausdruck:
,
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