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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.15

Berücksichtigt man, daß nach Voraussetzung ${\mathsf {A}}^{1+S+\cdots +S^{l-1}}=1$ ist und folglich auch ${\mathsf {A}}_{x}^{1+S+\dots +S^{l-1}}=1$ wird, so ergibt sich ${\mathsf {B}}_{x}^{1-S}={\mathsf {A}}_{x}$. Da ${\mathsf {B}}_{x}$ eine rationale Funktion von $x$ ist, welche, wie leicht ersichtlich, nicht identisch für alle $x$ verschwindet, so kann man eine ganze rationale Zahl $x=a$ so wählen, daß ${\mathsf {B}}_{a}$, eine von $0$ verschiedene Zahl in $K$ wird. Die Zahl ${\mathsf {B}}^{*}={\frac {{\mathsf {B}}_{a}}{a+\Theta }}$ genügt dann der Gleichung ${\mathsf {A}}={\mathsf {B}}^{*1-S}$. Setzen wir ${\mathsf {B}}^{*}={\frac {\mathsf {B}}{b}}$, wo ${\mathsf {B}}$ eine ganze algebraische Zahl in $K$ und $b$ eine ganze rationale Zahl bedeutet, so ist auch ${\mathsf {A}}={\mathsf {B}}^{1-S}$.

§ 55. Das System von relativen Grundeinheiten und der Nachweis ihrer Existenz.

Ein zweiter wichtiger Satz über den Körper $K$ betrifft eine Eigenschaft der Einheiten in $K$. Kommen unter den $m$ konjugierten Körpern, welche durch $k$ bestimmt sind, $r_{1}$ reelle Körper und $r_{2}$ Paare konjugiert imaginärer Körper vor, so ist nach Satz 47 die Zahl der Grundeinheiten in $k$ gleich $r=r_{1}+r_{2}-1$. Wir definieren nun den Begriff eines Systems von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$ bezüglich $k$. Unter einem solchen System verstehen wir ein System von $r+1$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{r+1}$ im Körper $K$ von der Eigenschaft, daß eine Einheit von der Gestalt ${\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}(S)}\dots {\mathsf {H}}_{r+1}^{F_{r+1}}(S)[\varepsilon ]$ nur dann die symbolische $(1-S)$-te Potenz einer Einheit in $K$ werden kann, wenn die ganzen algebraischen Zahlen $F_{1}(\zeta )$, …, $F_{r+1}(\zeta )$ sämtlich durch $1-\zeta$ teilbar sind. Dabei bedeuten $F_{1}(S)$, …, $F_{r+1}(S)$ ganzzahlige Funktionen von $S$; $[\varepsilon ]$ bedeutet eine beliebige Einheit des Körpers $k$ oder eine solche Einheit des Körpers $K$, deren $l$-te Potenz eine Einheit in $k$ ist; $\zeta$ endlich bedeutet eine von $1$ verschiedene $l$-te Einheitswurzel.

Satz 91. Wenn der Relativgrad $l$ des relativ-zyklischen Körpers $K$ in bezug auf den Körper $k$ eine ungerade Primzahl ist, so existiert in $K$ stets ein System von $r+1$ relativen Grundeinheiten, wobei $r$ für $k$ die Bedeutung wie in Satz 47 hat.

Beweis. Wegen $l\neq 2$ kommen unter den $lm$ durch $K$ bestimmten konjugierten Körpern $lr_{1}$, reelle Körper und $lr_{2}$ imaginäre Paare von Körpern vor. Es sei $\varepsilon _{1}$, …‚ $\varepsilon _{r}$, ein System von $r=r_{1}+r_{2}-1$ Grundeinheiten des Körpers $k$. Man wähle unter den Einheiten in $K$ eine solche Einheit ${\mathsf {E}}_{1}$ aus, daß ${\mathsf {E}}_{1}$, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ ein System von unabhängigen Einheiten bilden; dann müssen auch die $r+l-1$ Einheiten ${\mathsf {E}}_{1}$, ${\mathsf {E}}_{1}^{S}$, …, ${\mathsf {E}}_{1}^{S^{l-2}}$, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ ein System unabhängiger Einheiten sein.

Zum Beweise hierfür machen wir die gegenteilige Annahme und denken uns ${\mathsf {E}}_{1}^{F(S)}=\varepsilon ^{*}$, wo $F(S)$ eine nicht identisch verschwindende ganzzahlige Funktion vom $(l-2)$-ten Grade in $S$ und $\varepsilon ^{*}$ eine Einheit des Körpers $k$ bedeutet. Da die Funktion $1+S+\cdots +S^{l-1}$ irreduzibel ist, (vgl. die Bemerkung

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 150. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/167&oldid=- (Version vom 31.7.2018)