Endlich bezeichnen wir die sämtlichen von
verschiedenen und in der Diskriminante
von
oder in den Normen der Zahlen
,
, … aufgehenden
rationalen Primzahlen, soweit sie größer als
sind, mit
, …,
. Ist
eine beliebige unter diesen, so muß, da sie in
höchstens
Primfaktoren enthalten kann, mindestens eine der
(
) Zahlen,
,
,
, …,
zu
prim sein; es sei etwa
prim zu
. Bestimmt man dann eine ganze rationale Zahl
, welche den
Kongruenzen
nach
für
,
, …,
genügt, so ist
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eine Zahl von der Eigenschaft, wie sie unser Hilfssatz 12 verlangt.
In der Tat: wegen der Kongruenz
nach
ist die Zahl
prim zu
allen denjenigen rationalen Primzahlen, welche
sind; und andererseits ist
auf Grund der Bestimmungsweise der Zahl
prim zu allen denjenigen in
enthaltenen rationalen Primzahlen, welche größer als
sind. Die Zahl
ist daher prim zu den von
verschiedenen, in
aufgehenden rationalen Primzahlen.
Ferner ist
teilbar durch
, aber nicht durch
,
, …,
, da
nach
wird. Die Zahl
ist in der Gestalt
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,
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darstellbar, wo
, …,
ganze rationale Zahlen bedeuten. Da
nach
ist und
keiner ganzzahligen Kongruenz von niederem als dem
-ten
Grade nach
genügen kann, so folgt, daß
nicht durch
teilbar ist.
Wäre ferner
durch ein Primideal
vom Grade
teilbar, und seien
,
,
, …,
die
Substitutionen der Zerlegungsgruppe von
, durch
welche diese aus der Trägheitsgruppe erzeugt wird, so müßten die
Kongruenzen.
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bestehen; diese würden zur Folge haben, daß die Diskriminante
der Zahl
durch
teilbar ist, was nach dem Obigen nicht zutrifft.
Es sei endlich
durch ein Primideal
vom Grade
teilbar; dann müßte einer der Körper
,
,
, … Zerlegungskörper von
sein; es sei dies etwa der Körper
. Unter dieser Annahme setze man
in die Gestalt
|
,
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wo
, …,
Zahlen in
bedeuten. Sind
,
,
, …,
die
für
zur Erzeugung seiner Zerlegungsgruppe aus seiner Trägheitsgruppe dienenden
Substitutionen, so folgt
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