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ganze Zahl in , welche durch , aber nicht durch teilbar ist, und deren übrige Primfaktoren sämtlich von niederem als dem -ten Grade sind.

Beweis. Es sei eine ganze Zahl des Körpers von der Art, daß jede andere ganze Zahl einer ganzzahligen Funktion von nach kongruent wird. Nach Satz 29 existiert eine solche Zahl stets. Wir bezeichnen ferner die zu konjugierten und von verschiedenen Primideale mit , , …‚ und bestimmen dann eine ganze Zahl in , welche den Kongruenzen

genügt. Ist eine solche Substitution der zu gehörigen Zerlegungsgruppe, für welche nach wird, so sind offenbar die Differenzen , , …, zu prim. Ist ferner eine nicht zur Zerlegungsgruppe gehörige Substitution, so wird durch teilbar, und folglich ist die Differenz zu prim. Die Differente von ist mithin zu prim, und daher folgt nach der Bemerkung auf S. 71, daß eine den Körper bestimmende Zahl darstellt. Mit Rücksicht auf Satz 31 ist der Trägheitskörper von , und daher genügt einer Gleichung von der Gestalt:

,

wo , …‚ Zahlen im Zerlegungskörper des Primideals bedeuten. Die übrigen Unterkörper des Körpers vom nämlichen Grade bezeichnen wir mit , , …; es genügt dann auch den Gleichungen

wo , …, Zahlen in , , …, Zahlen in usf. sind. Nunmehr bestimme man ganze rationale Zahlen , …‚ so, daß

, …, ,  ()

wird; dies ist möglich, weil nach Satz 70 das Ideal in vom ersten Grade ist. Sodann seien , …, solche ganze rationale Zahlen, welche den Kongruenzen

, …, ,  ()

genügen, und für welche überdies keine der zum Index 1 gehörigen Verbindungen

, , …

verschwindet. Wir setzen ferner

.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 147. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/164&oldid=- (Version vom 31.7.2018)