Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/163

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.14

Wir heben noch folgende Tatsachen hervor, deren Richtigkeit nunmehr leicht erkannt wird:

Satz 88. Wenn $k_{1}$, $k_{2}$, zwei Körper bezüglich von den Graden $m_{1}$, $m_{2}$ und mit den zueinander primen Diskriminanten $d_{1}$‚ $d_{2}$ sind, so ist die Diskriminante des zusammengesetzten Körpers $K$ gleich $d_{1}^{m_{2}}d_{2}^{m_{1}}$. Die $m_{1}m_{2}$ Zahlen einer Basis des Körpers $K$ erhält man, wenn man jede der $m_{1}$ Basiszahlen des Körpers $k_{1}$ mit jeder der $m_{2}$ Basiszahlen des Körpers $k_{2}$ multipliziert. Ist $p$ eine rationale Primzahl, welche in $k_{1}$ die Zerlegung $p={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\ldots {\mathfrak {p}}_{r}^{e_{r}}$ und in $k_{2}$ die Zerlegung $p={\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{s}$ erfährt, wo ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{r}$ und ${\mathfrak {q}}_{1}$, …‚ ${\mathfrak {q}}_{s}$ voneinander verschiedene Primideale bez. in den Körpern $k_{1}$ und $k_{2}$ bedeuten, so gilt in $K$ die Zerlegung $p=\prod \limits _{i,l}{\mathfrak {I}}_{il}^{e_{i}}$, wo das Produkt über $i=1$, …,$r$ und $l=1$, …, $s$ zu erstrecken ist und ${\mathfrak {I}}_{il}$ dasjenige Ideal in $K$ bedeutet, welches als der größte gemeinsame Teiler der beiden Ideale ${\mathfrak {p}}_{i}$ und ${\mathfrak {q}}_{l}$ definiert ist. Die Ideale ${\mathfrak {I}}_{il}$ sind nicht notwendig Primideale in $K$.

Werden zwei Körper $k_{1}$, $k_{2}$ mit beliebigen Diskriminanten zugrunde gelegt, so ist die Beantwortung der entsprechenden Fragen nur unter beschränkenden Annahmen über die Natur der zu zerlegenden Primzahlen einfach [Hensel (3^[1])].

Die bisher in Kapitel 10—13 dargelegten Resultate scheinen mir die wichtigsten Grundzüge einer Theorie der Ideale und Diskriminanten des Galoisschen Körpers zu enthalten. Die befolgten Methoden gestatten noch nach mannigfachen Richtungen eine allgemeinere Ausführung; insbesondere gilt eine Reihe der in §§ 39—44 bewiesenen Sätze ohne wesentliche Änderung für relativ Galoissche Körper [Dedekind (8^[2])].

14. Die Primideale ersten Grades und der Klassenbegriff.

§ 53. Die Erzeugung der Idealklassen durch Primideale ersten Grades.

Es ist von hohem Interesse, daß die in Kapitel 10—12 entwickelten Prinzipien auch über die Frage der Erzeugung und Natur der Idealklassen eines Zahlkölpers neues Licht verbreiten. In diesem und in dem folgenden Kapitel werden die wichtigsten auf diese Frage bezüglichen allgemeinen Sätze dargelegt. Der erste Satz betrifft die Erzeugung der Idealklassen eines beliebigen Galoisschen Zahlkörpers durch Primideale ersten Grades und lautet:

Satz 89. In jeder Idealklasse eines Galoisschen Körpers gibt es Ideale, deren Primfaktoren sämtlich Ideale ersten Grades sind.

Wir beweisen zunächst den folgenden Hilfssatz:

Hilfssatz 12. Wenn $K$ ein Galoisscher Körper vom $M$-ten Grade mit der Diskriminante $D$ ist, und ${\mathfrak {P}}$ ein in $DM$! nicht aufgehendes Primideal von einem Grade $f>1$ in diesem Körper bedeutet, so gibt es stets eine zu $DM$! prime

---

1. Über Gattungen, welche durch Komposition aus zwei anderen Gattungen entstehen. J. Math. 105 (1889).^{[WS 1]}
2. Zur Theorie der Ideale. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1894.^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Hensel, Kurt: Ueber Gattungen, welche durch Composititon aus zwei anderen Gattungen entstehen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 101 (1887), S. 329–344 GDZ Göttingen
2. Dedekind, Richard: Zur Theorie der Ideale, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1894, S. 272–277 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 146. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/163&oldid=- (Version vom 31.7.2018)