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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.11

§ 47. Die Teiler der Diskriminante des Galoisschen Körpers.

Satz 79. Der Exponent der Potenz, zu welcher die rationale Primzahl $p$ in der Diskriminante $D$ des Körpers $K$ als Faktor vorkommt, ist

m_{t}\left\{r_{t}-r_{v}+L\left(r_{v}-r_{\overline {v}}\right)+{\overline {L}}\left(r_{\overline {v}}-r_{\overline {\overline {v}}}\right)+\cdots \right\}

.

Beweis. Der Satz 41 lehrt in Verbindung mit den oben ausgesprochenen Sätzen 76, 77 und 78, daß die Differente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K$ das Primideal ${\mathfrak {P}}$ genau in der $\textstyle r_{t}-r_{v}+L\left(r_{v}-r_{\overline {v}}\right)+{\overline {L}}\left(r_{\overline {v}}-r_{\overline {\overline {v}}}\right)+\cdots$ -ten Potenz enthält. Hieraus folgt nach Satz 68 die Richtigkeit der Behauptung.

Im Falle, daß keine überstrichenen Verzweigungskörper vorhanden sind, kommt bereits das Glied mit $L$ nicht mehr in Frage, und es folgt dann, daß der Exponent der in $D$ aufgehenden Potenz von $p$ den Wert $m_{t}(r_{t}-1)$ besitzt. Nach dem Obigen tritt dieser Fall sicher dann ein, wenn der Grad $M$ zu $p$ prim ist. Man Vergleiche die Bemerkungen am Schluß des § 12.

Satz 80. Der Exponent der in der Diskriminante $D$ aufgehenden Potenz von der rationalen Primzahl $p$ überschreitet nicht eine gewisse Grenze, die nur vom Grade $M$ des Galoisschen Körpers $K$ abhängt.

Beweis. Alle Exponenten $L,{\overline {L}},\ldots$ für ein Primideal ${\mathfrak {P}}$ liegen unter einer durch $M$ allein bestimmten Grenze. Um für $L$ eine solche Grenze aufzufinden, bezeichnen wir mit $\omega$ eine durch $p_{\overline {v}}$ , aber nicht durch $p_{\overline {v}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k_{\overline {v}}$ und wählen ein System von $p^{\overline {e}}$ Substitutionen $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{p^{\overline {e}}}$ der Verzweigungsgruppe aus, welche durch Zusammensetzung mit $g_{\overline {v}}$ diese Gruppe $g_{v}$ erzeugen. Die Zahl $\alpha =v_{1}\omega +v_{2}\omega +\cdots +v_{p^{\overline {e}}}\omega$ bleibt dann bei allen Substitutionen $g_{v}$ ungeändert und gehört daher dem Körper $k_{v}$ an. Andererseits ist $\omega \equiv v\omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{L}$ und folglich $\omega \equiv p^{\overline {e}}\omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{L}$ . Wäre nun $L>{\overline {e}}r_{t}+r_{\overline {v}}$ , so müßte $\alpha \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}^{\overline {e}}{\mathfrak {p}}_{\overline {v}}$ aber $\equiv \!\!\!\!\!|\,\,\,0$ nach ${\mathfrak {p}}^{\overline {e}}{\mathfrak {p}}_{\overline {v}}{\mathfrak {P}}$ sein. Setzen wir daher $p={\mathfrak {pa}}$ , wo ${\mathfrak {a}}$ ein zu ${\mathfrak {p}}$ primes Ideal des Zerlegungskörpers bedeutet, und bezeichnen mit $\gamma$ eine durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare und zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl des Zerlegungskörpers, so ist $\textstyle \beta ={\frac {\alpha \gamma ^{\overline {e}}}{p^{\overline {e}}}}$ eine ganze Zahl in $k_{v}$ ; dieselbe wäre durch ${\mathfrak {p}}_{\overline {v}}$ , aber nicht durch ${\mathfrak {p}}_{\overline {v}}{\mathfrak {P}}$ teilbar, und mithin wäre ${\mathfrak {p}}_{\overline {v}}$ im Widerspruch mit Satz 75 ein Ideal des Körpers $k_{v}$ . Da man in ähnlicher Weise auch für die übrigen Exponenten ${\overline {L}},\ldots$ eine obere Grenze findet, so kann hiernach auch der in Satz 79 angegebene Exponent der in der Diskriminante $D$ aufgehenden Potenz von $p$ eine gewisse, nur vom Grade $M$ des Körpers $K$ abhängige Grenze nicht überschreiten.

Der Satz 80 ist besonders deshalb von Wichtigkeit, weil er die Möglichkeiten, die sich hinsichtlich der in $M$ aufgehenden Primzahlen $p$ bieten, von vornherein auf eine endliche Anzahl einschränkt. Rechnen wir alle diejenigen Körper vom Grade $M$ , bei welchen die Zerlegung der in $M$ aufgehenden Primzahlen für alle obigen Anzahlen die nämlichen Werte liefert, zu einem Typus, so folgt, daß es für einen gegebenen Grad $M$ nur eine endliche Anzahl von möglichen Körpertypen gibt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 140. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/157&oldid=- (Version vom 31.7.2018)