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§ 47. Die Teiler der Diskriminante des Galoisschen Körpers.

Satz 79. Der Exponent der Potenz, zu welcher die rationale Primzahl in der Diskriminante des Körpers als Faktor vorkommt, ist

.

Beweis. Der Satz 41 lehrt in Verbindung mit den oben ausgesprochenen Sätzen 76, 77 und 78, daß die Differente des Körpers das Primideal genau in der -ten Potenz enthält. Hieraus folgt nach Satz 68 die Richtigkeit der Behauptung.

Im Falle, daß keine überstrichenen Verzweigungskörper vorhanden sind, kommt bereits das Glied mit nicht mehr in Frage, und es folgt dann, daß der Exponent der in aufgehenden Potenz von den Wert besitzt. Nach dem Obigen tritt dieser Fall sicher dann ein, wenn der Grad zu prim ist. Man Vergleiche die Bemerkungen am Schluß des § 12.

Satz 80. Der Exponent der in der Diskriminante aufgehenden Potenz von der rationalen Primzahl überschreitet nicht eine gewisse Grenze, die nur vom Grade des Galoisschen Körpers abhängt.

Beweis. Alle Exponenten für ein Primideal liegen unter einer durch allein bestimmten Grenze. Um für eine solche Grenze aufzufinden, bezeichnen wir mit eine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl in und wählen ein System von Substitutionen der Verzweigungsgruppe aus, welche durch Zusammensetzung mit diese Gruppe erzeugen. Die Zahl bleibt dann bei allen Substitutionen ungeändert und gehört daher dem Körper an. Andererseits ist nach und folglich nach . Wäre nun , so müßte nach aber nach sein. Setzen wir daher , wo ein zu primes Ideal des Zerlegungskörpers bedeutet, und bezeichnen mit eine durch teilbare und zu prime Zahl des Zerlegungskörpers, so ist eine ganze Zahl in ; dieselbe wäre durch , aber nicht durch teilbar, und mithin wäre im Widerspruch mit Satz 75 ein Ideal des Körpers . Da man in ähnlicher Weise auch für die übrigen Exponenten eine obere Grenze findet, so kann hiernach auch der in Satz 79 angegebene Exponent der in der Diskriminante aufgehenden Potenz von eine gewisse, nur vom Grade des Körpers abhängige Grenze nicht überschreiten.

Der Satz 80 ist besonders deshalb von Wichtigkeit, weil er die Möglichkeiten, die sich hinsichtlich der in aufgehenden Primzahlen bieten, von vornherein auf eine endliche Anzahl einschränkt. Rechnen wir alle diejenigen Körper vom Grade , bei welchen die Zerlegung der in aufgehenden Primzahlen für alle obigen Anzahlen die nämlichen Werte liefert, zu einem Typus, so folgt, daß es für einen gegebenen Grad nur eine endliche Anzahl von möglichen Körpertypen gibt.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 140. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/157&oldid=- (Version vom 31.7.2018)