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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.11

ihre Darstellung als Potenzen von ${\mathfrak {P}}$ sich angegeben finden. Der Körper $K$ ist dabei als ein dreimal überstrichener Verzweigungskörper angenommen. Die sämtlichen in der Tabelle vorkommenden Gradzahlen und Exponenten haben für jedes in $p$ aufgehende Primideal des Körpers $K$ die gleichen Werte wie für ${\mathfrak {P}}$ und sind daher durch die Primzahl $p$ allein völlig bestimmt.

11. Die Differenten und Diskriminanten des Galoisschen Körpers und seiner Unterkörper.

§ 46. Die Differenten des Trägheitskörpers und der Verzweigungskörper.

Eine reiche Quelle neuer Wahrheiten entspringt, wenn wir die soeben gewonnenen Resultate mit denjenigen des Kapitels 5 in Zusammenhang bringen. So folgt unter Benutzung des Satzes 41 leicht ein Satz, welcher die wichtigste Eigenschaft des Trägheitskörpers aussagt; derselbe lautet:

Satz 76. Die Differente des zum Primideal ${\mathfrak {P}}$ gehörigen Trägheitskörpers ist nicht durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar. Der Trägheitskörper umfaßt sämtliche in $K$ enthaltenen Unterkörper, deren Differenten nicht durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar sind.

Betreffs der Differenten der Verzweigungskörper gelten folgende Sätze:

Satz 77. Die Relativdifferente des Verzweigungskörpers in bezug auf den Trägheitskörper ist durch ${\mathfrak {P}}^{r_{t}-r_{v}}={\mathfrak {p}}_{v}^{h-1}$ und durch keine höhere Potenz von ${\mathfrak {P}}$ teilbar.

Beweis. Nach Satz 41 gilt ${\mathfrak {D}}_{t}(K)={\mathfrak {D}}_{v}(K){\mathfrak {d}}_{t}(k_{v})$, wo ${\mathfrak {D}}_{t}(K)$, ${\mathfrak {D}}_{v}(K)$, ${\mathfrak {d}}_{t}(k_{v})$ bez. die Relativdifferenten von $K$ in bezug auf $k_{t}$, von $K$ in bezug auf $k_{v}$ und von $k_{v}$ in bezug auf $k_{t}$ sind. Wenn $\Xi$ die Fundamentalform von $K$ ist, gilt also, daß der Inhalt der Form $\Pi (\Xi -v\Xi )$ gleich dem Inhalt der Form $\Pi (\Xi -v\Xi )$ mal ${\mathfrak {d}}_{t}(k_{v})$ ist; dabei durchläuft in dem ersten Produkt $t$ alle Substitutionen der Trägheitsgruppe, in dem zweiten Produkt $v$ alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe. Sämtliche Faktoren $\Xi -v\Xi$ treten auch unter den Faktoren $\Xi -v\Xi$ auf, die übrigen sind nach der Definition der Verzweigungsgruppe durch ${\mathfrak {P}}$ aber durch keine höhere Potenz von ${\mathfrak {P}}$ teilbar. Aus

$(h-1)r_{v}=r_{t}-r_{v}$

folgt dann die Behauptung. In ähnlicher Weise folgt die Tatsache:

Satz 78. Die Relativdifferente des einmal überstrichenen Verzweigungskörpers $k_{\overline {v}}$ in bezug auf den Verzweigungskörper $k_{v}$ enthält genau die Potenz ${\mathfrak {P}}^{L\left(r_{v}-r_{\overline {v}}\right)}={\mathfrak {p}}_{\overline {v}}^{L\left(p^{\overline {e}}-1\right)}$. Die Relativdifferente des zweimal überstrichenen Verzweigungskörpers $k_{\overline {\overline {v}}}$ in bezug auf $k_{\overline {v}}$ enthält genau die Potenz ${\mathfrak {P}}^{{\overline {L}}\left(r_{\overline {v}}-r_{\overline {\overline {v}}}\right)}={\mathfrak {p}}_{\overline {\overline {v}}}^{{\overline {L}}\left(p^{\overline {\overline {e}}}-1\right)}$ usw.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 139. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/156&oldid=- (Version vom 31.7.2018)