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ihre Darstellung als Potenzen von sich angegeben finden. Der Körper ist dabei als ein dreimal überstrichener Verzweigungskörper angenommen. Die sämtlichen in der Tabelle vorkommenden Gradzahlen und Exponenten haben für jedes in aufgehende Primideal des Körpers die gleichen Werte wie für und sind daher durch die Primzahl allein völlig bestimmt.

11. Die Differenten und Diskriminanten des Galoisschen Körpers und seiner Unterkörper.

§ 46. Die Differenten des Trägheitskörpers und der Verzweigungskörper.

Eine reiche Quelle neuer Wahrheiten entspringt, wenn wir die soeben gewonnenen Resultate mit denjenigen des Kapitels 5 in Zusammenhang bringen. So folgt unter Benutzung des Satzes 41 leicht ein Satz, welcher die wichtigste Eigenschaft des Trägheitskörpers aussagt; derselbe lautet:

Satz 76. Die Differente des zum Primideal gehörigen Trägheitskörpers ist nicht durch teilbar. Der Trägheitskörper umfaßt sämtliche in enthaltenen Unterkörper, deren Differenten nicht durch teilbar sind.

Betreffs der Differenten der Verzweigungskörper gelten folgende Sätze:

Satz 77. Die Relativdifferente des Verzweigungskörpers in bezug auf den Trägheitskörper ist durch und durch keine höhere Potenz von teilbar.

Beweis. Nach Satz 41 gilt , wo , , bez. die Relativdifferenten von in bezug auf , von in bezug auf und von in bezug auf sind. Wenn die Fundamentalform von ist, gilt also, daß der Inhalt der Form gleich dem Inhalt der Form mal ist; dabei durchläuft in dem ersten Produkt alle Substitutionen der Trägheitsgruppe, in dem zweiten Produkt alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe. Sämtliche Faktoren treten auch unter den Faktoren auf, die übrigen sind nach der Definition der Verzweigungsgruppe durch aber durch keine höhere Potenz von teilbar. Aus

folgt dann die Behauptung. In ähnlicher Weise folgt die Tatsache:

Satz 78. Die Relativdifferente des einmal überstrichenen Verzweigungskörpers in bezug auf den Verzweigungskörper enthält genau die Potenz . Die Relativdifferente des zweimal überstrichenen Verzweigungskörpers in bezug auf enthält genau die Potenz usw.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 139. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/156&oldid=- (Version vom 31.7.2018)