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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

§ 45. Kurze Zusammenfassung der Sätze über die Zerlegung einer rationalen Primzahl $p$ im Galoisschen Körper.

Durch die in § 39-44 entwickelten Sätze erlangen wir einen vollständigen Einblick in die bei der Zerlegung einer rationalen Primzahl $p$ in einem Galoisschen Körper sich abspielenden Vorgänge:

Es handle sich um einen bestimmten Primfaktor ${\mathfrak {P}}$ von $p$, so wird $p$ zunächst im Zerlegungskörper von ${\mathfrak {P}}$ in der Form $p={\mathfrak {pa}}$ zerlegt, wo ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ersten Grades und ${\mathfrak {a}}$ ein durch ${\mathfrak {p}}$ nicht teilbares Ideal des Zerlegungskörpers ist. Der Zerlegungskörper von ${\mathfrak {P}}$ ist als Unterkörper in dem Trägheitskörper von ${\mathfrak {P}}$ enthalten, welcher seinerseits keine weitere Zerlegung von ${\mathfrak {p}}$ bewirkt, sondern lediglich dieses Ideal ${\mathfrak {p}}$ zu einem Primideal $f$-ten Grades erweitert. Ist der Körper $K$ selbst der Zerlegungskörper oder der Trägheitskörper, so ist nach diesem ersten Schritte die Zerlegung bereits abgeschlossen. Im anderen Falle läßt sich ${\mathfrak {p}}$ für $K$ noch in gleiche Faktoren spalten, und zwar wird ${\mathfrak {p}}$ zunächst im Verzweigungskörper die Potenz eines Primideals ${\mathfrak {p}}_{v}$, wobei der Exponent in $p^{f}-1$ aufgeht und folglich nicht durch $p$ teilbar ist. Die Spaltung von ${\mathfrak {p}}$ ist mit diesem zweiten Schritte notwendig dann und nur dann abgeschlossen, wenn $p$ im Grade der Trägheitsgruppe nicht aufgeht und mithin der Körper $K$ selbst der Verzweigungskörper ist. In den nun folgenden überstrichenen Verzweigungskörpern schreitet die Spaltung ohne Aussetzen fort, und zwar sind die bezüglichen Potenzexponenten Zahlen von der Gestalt $p^{\bar {e}}$, $p^{\bar {\bar {e}}}$, …, wo keiner der Exponenten ${\bar {e}}$, ${\bar {\bar {e}}}$, … den Grad $f$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$ überschreitet.

Die Übersicht über die entwickelten Resultate wird durch die folgende Tabelle erleichtert, in deren Zeilen der Reihe nach die betreffenden Körper, die

$k_{z}$	$k_{t}$	$k_{v}$	$k_{\bar {v}}$	$k_{\bar {\bar {v}}}$	$K$
$r_{z}$	$r_{t}$	$r_{v}$	$r_{\bar {v}}$	$r_{\bar {\bar {v}}}$	$1$
$m_{z}={\frac {M}{r_{z}}}$	$m_{t}={\frac {M}{r_{t}}}$	$m_{v}={\frac {M}{r_{v}}}$	$m_{\bar {v}}={\frac {M}{r_{\bar {v}}}}$	$m_{\bar {\bar {v}}}={\frac {M}{r_{\bar {\bar {v}}}}}$	$M$
	$f={\frac {r_{z}}{r_{t}}}$	$h={\frac {r_{t}}{r_{v}}}$	$p^{\bar {e}}={\frac {r_{v}}{r_{\bar {v}}}}$	$p^{\bar {\bar {e}}}={\frac {r_{\bar {v}}}{r_{\bar {\bar {v}}}}}$	$p^{\bar {\bar {\bar {e}}}}=r_{\bar {\bar {v}}}$
$\overbrace {{\begin{aligned}{\mathfrak {p}}&={\mathfrak {p}}_{v}^{h}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{t}}\end{aligned}}^{}}$		${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}_{v}&={\mathfrak {p}}_{\bar {v}}^{p^{\bar {e}}}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{v}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}_{\bar {v}}&={\mathfrak {p}}_{\bar {\bar {v}}}^{p^{\bar {\bar {e}}}}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{\bar {v}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}_{\bar {\bar {v}}}&={\mathfrak {P}}^{p^{\bar {\bar {\bar {e}}}}}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{\bar {\bar {v}}}}\end{aligned}}$	${\mathfrak {P}}$

Grade der zugehörigen Gruppen, die Grade der Körper, ihre Relativgrade in bezug auf den nächst niederen Körper, dann die Primideale der Körper und

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 138. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/155&oldid=- (Version vom 31.7.2018)