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indem man die Substitutionen der einmal überstrichenen Verzweigungsgruppe mit gewissen Substitutionen , …, der Verzweigungsgruppe multipliziert; dabei haben diese Substitutionen die Besonderheit, daß für irgend zwei derselben und stets eine Relation von der Gestalt besteht, wo eine Substitution in ist. Das Ideal ist Primideal in : es findet somit in die Spaltung des Ideals in gleiche Primfaktoren statt; dabei ist der Exponent eine Zahl, die den Grad des Primideals nicht überschreitet.

Beweis. Es sei eine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl des Körpers ; wir bestimmen dann ein System von Substitutionen , …, der Verzweigungsgruppe von der Art, daß, wenn

gesetzt wird, die ganzen Zahlen , …, sämtlich einander nach inkongruent sind und auch keine Substitution von zu diesem Systeme , …, hinzugefügt werden kann, ohne der letzteren Forderung zu widersprechen. Wählen wir dann eine beliebige Substitution der Verzweigungsgruppe und setzen nach , so muß einer der Zahlen ‚ …, nach kongruent sein; ist etwa nach , so folgt nach . Aus Satz 72 folgt, daß jede ganze Zahl in einem Ausdrucke nach kongruent ist, wo , , …‚ ganze Zahlen des Trägheitskörpers sind, und hieraus ergibt sich für die Kongruenz nach , d. h. es ist oder . Diese Gleichung beweist die im Satze 75 behauptete Struktur der Gruppe .

Wir setzen und .

Es ist nunmehr ersichtlich, in welcher Weise das eingeschlagene Verfahren fortzusetzen ist. Bedeutet den höchsten Exponenten von der Art, daß für jede Substitution die sämtlichen Zahlen des Körpers der Kongruenz nach genügen, so bestimmen wir alle die Substitutionen , für welche beständig nach wird. Dieselben bilden eine invariante Untergruppe der Gruppe : die zweimal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals ; ihr Grad sei ; wir setzen . Es wird , wo ein Primideal des zu gehörigen Körpers ist.

So fortfahrend, gelangen wir zur dreimal überstrichenen Verzweigungsgruppe usw. Ist etwa die -mal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals diejenige, welche lediglich aus der Substitution besteht, so ist der -mal überstrichene Verzweigungskörper des Primideals der Körper selbst und die Struktur der Verzweigungsgruppe ist dann genau bekannt. Es leuchtet ein, daß für das Primideal überstrichene Verzweigungskörper nur dann vorhanden sein können, wenn der Grad des Körpers durch teilbar ist.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 137. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/154&oldid=- (Version vom 31.7.2018)