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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

indem man die Substitutionen der einmal überstrichenen Verzweigungsgruppe $g_{\bar {v}}$ mit gewissen $p^{\bar {e}}$ Substitutionen $v_{1}$, …, $v_{p^{\bar {e}}}$ der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ multipliziert; dabei haben diese $p^{\bar {e}}$ Substitutionen die Besonderheit, daß für irgend zwei derselben $v_{i}$ und $v_{i'}$ stets eine Relation von der Gestalt $v_{i}v_{i'}=v_{i'}v_{i}{\bar {v}}$ besteht, wo ${\bar {v}}$ eine Substitution in $g_{\bar {v}}$ ist. Das Ideal ${\mathfrak {p}}_{\bar {v}}={\mathfrak {P}}^{r_{\bar {v}}}$ ist Primideal in $k_{\bar {v}}$: es findet somit in $k_{\bar {v}}$ die Spaltung des Ideals ${\mathfrak {p}}_{v}={\mathfrak {p}}_{\bar {v}}^{p^{\bar {e}}}$ in $p^{\bar {e}}$ gleiche Primfaktoren statt; dabei ist der Exponent ${\bar {e}}$ eine Zahl, die den Grad $f$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$ nicht überschreitet.

Beweis. Es sei ${\mathsf {A}}$ eine durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbare ganze Zahl des Körpers $K$; wir bestimmen dann ein System von Substitutionen $v_{1}$, …, $v_{r}$ der Verzweigungsgruppe von der Art, daß, wenn

$v_{1}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}+{\mathsf {B}}_{1}{\mathsf {A}}^{L},\ldots ,v_{r}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}+{\mathsf {B}}_{r}{\mathsf {A}}^{L},\quad ({\mathfrak {P}}^{L+1})$

gesetzt wird, die ganzen Zahlen ${\mathsf {B}}_{1}$, …, ${\mathsf {B}}_{r}$ sämtlich einander nach ${\mathfrak {P}}$ inkongruent sind und auch keine Substitution von $g_{v}$ zu diesem Systeme $v_{1}$, …, $v_{r}$ hinzugefügt werden kann, ohne der letzteren Forderung zu widersprechen. Wählen wir dann eine beliebige Substitution $v^{*}$ der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ und setzen $v^{*}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}+{\mathsf {BA}}^{L}$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$, so muß ${\mathsf {B}}$ einer der Zahlen ${\mathsf {B}}_{1}$‚ …, $B_{r}$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent sein; ist etwa ${\mathsf {B}}\equiv {\mathsf {B}}_{i}$ nach ${\mathfrak {P}}$, so folgt $v_{i}^{-1}v^{*}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$. Aus Satz 72 folgt, daß jede ganze Zahl $\Omega$ in $K$ einem Ausdrucke $\alpha _{t}+\beta _{t}{\mathsf {A}}+\cdots +\lambda _{t}{\mathsf {A}}^{L}$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$ kongruent ist, wo $\alpha _{t}$, $\beta _{t}$, …‚ $\lambda _{t}$ ganze Zahlen des Trägheitskörpers sind, und hieraus ergibt sich für $\Omega$ die Kongruenz $v_{i}^{-1}v^{*}\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$, d. h. es ist $v_{i}^{-1}v^{*}={\bar {v}}$ oder $v^{*}=v_{i}{\bar {v}}$. Diese Gleichung beweist die im Satze 75 behauptete Struktur der Gruppe $g_{\bar {v}}$.

Wir setzen $r_{\bar {v}}=p^{\bar {l}}$ und ${\bar {e}}=l-{\bar {l}}$.

Es ist nunmehr ersichtlich, in welcher Weise das eingeschlagene Verfahren fortzusetzen ist. Bedeutet ${\bar {L}}$ den höchsten Exponenten von der Art, daß für jede Substitution ${\bar {v}}$ die sämtlichen Zahlen des Körpers $K$ der Kongruenz ${\bar {v}}\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{\bar {L}}$ genügen, so bestimmen wir alle die Substitutionen ${\bar {\bar {v}}}$, für welche beständig ${\bar {\bar {v}}}\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{{\bar {L}}+1}$ wird. Dieselben bilden eine invariante Untergruppe $g_{\bar {\bar {v}}}$ der Gruppe $g_{\bar {v}}$: die zweimal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$; ihr Grad sei $r_{\bar {\bar {v}}}=p^{\bar {\bar {l}}}$; wir setzen ${\bar {\bar {e}}}={\bar {l}}-{\bar {\bar {l}}}$. Es wird ${\mathfrak {p}}_{\bar {v}}={\mathfrak {p}}_{\bar {\bar {v}}}^{p^{\bar {\bar {e}}}}$, wo ${\mathfrak {p}}_{\bar {\bar {v}}}$ ein Primideal des zu $g_{\bar {\bar {v}}}$ gehörigen Körpers $k_{\bar {\bar {v}}}$ ist.

So fortfahrend, gelangen wir zur dreimal überstrichenen Verzweigungsgruppe $g_{\bar {\bar {\bar {v}}}}$ usw. Ist etwa die $i$-mal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ diejenige, welche lediglich aus der Substitution $1$ besteht, so ist der $i$-mal überstrichene Verzweigungskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ der Körper $K$ selbst und die Struktur der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ ist dann genau bekannt. Es leuchtet ein, daß für das Primideal ${\mathfrak {P}}$ überstrichene Verzweigungskörper nur dann vorhanden sein können, wenn der Grad $M$ des Körpers $K$ durch $p$ teilbar ist.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 137. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/154&oldid=- (Version vom 31.7.2018)