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verstanden; die Zahl liegt im Körper und die Zahl im Körper . Um letzteres zu beweisen, bedenke man, daß die Zahl bei Anwendung der Substitution ungeändert bleibt, weil zu , gehört, und daß die Zahlen , , , …, bei Anwendung einer Substitution aus ungeändert bleiben. Diese Zahlen und sind, wie man leicht einsieht, beide nach dem Primideal der Primitivzahl kongruent. Da es folglich im Körper genau nach inkongruente Zahlen gibt, so ist notwendigerweise im Körper unzerlegbar und wird in demselben ein Primideal -ten Grades.

§ 43. Sätze über die Verzweigungsgruppe und den Verzweigungskörper.

Es ist nun leicht, die charakteristische Eigenschaft der Verzweigungsgruppe zu erkennen; dieselbe ist folgende:

Satz 73. Zur Verzweigungsgruppe gehören alle und nur solche Substitutionen , bei deren Anwendung für sämtliche ganze Zahlen des Körpers die Kongruenz nach besteht.

Beweis. Es sei die beliebige Zahl in der Zahl des Trägheitskörpers nach kongruent, und dementsprechend werde nach gesetzt, wo die Bedeutung wie in § 41 hat und eine geeignete ganze Zahl in ist. Durch die Anwendung einer Substitution des Verzweigungskörpers ergibt sich ‚ d. h. nach .

Zugleich erkennen wir leicht den folgenden weiteren Satz über den Verzweigungskörper:

Satz 74. Das Ideal liegt im Verzweigungskörper und ist in demselben ein Primideal -ten Grades: es findet somit im Verzweigungskörper die Spaltung des Ideals in gleiche Primfaktoren statt.

§ 44. Die überstrichenen Verzweigungskörper eines Primideals .

Unsere nächste Aufgabe besteht darin, weiter die Spaltung des Ideals in gleiche Faktoren zu verfolgen. Zu dem Zweck nehmen wir an, es sei der höchste Exponent von der Art, daß für eine jede Substitution der Verzweigungsgruppe die sämtlichen ganzen Zahlen des Körpers der Kongruenz nach genügen, und bestimmen dann alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe, für welche nach wird; dieselben bilden eine Untergruppe der Verzweigungsgruppe, die wir die einmal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals nennen. Der zu gehörige Körper heiße der einmal überstrichene Verzweigungskörper des Primideals. Die wichtigsten Eigenschaften dieses Körpers sind folgende:

Satz 75. Die einmal überstrichene Verzweigungsgmppe ist eine invariante Untergruppe der Verzweigungsgruppe . Der Grad von sei . Man erhält alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe und jede nur einmal,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 136. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/153&oldid=- (Version vom 31.7.2018)