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werden; ihre Anzahl sei ; sie bilden, wie leicht ersichtlich, eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe. Diese Untergruppe -ten Grades werde die Verzweigungsgruppe des Primideals genannt und mit bezeichnet. Der zu gehörige Körper heiße der Verzweigungskörper des Primideals . Das Verhältnis der Verzweigungsgruppe zur Trägheitsgruppe wird genauer durch folgenden Satz charakterisiert:

Satz 71. Die Verzweigungsgruppe ist eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe; der Grad derselben ist eine Potenz von , etwa . Man erhält alle Substitutionen der Trägheitsgruppe und jede nur einmal, indem man die Substitutionen der Verzweigungsgruppe mit , , , …, multipliziert, wo und eine geeignet gewählte Substitution der Trägheitsgruppe ist. Die Zahl ist ein Teiler von .

Beweis. Es sei eine so hohe Potenz von , daß für jede von verschiedene Substitution der Verzweigungsgruppe die Inkongruenz nach gilt. Setzen wir nun nach , wo eine ganze Zahl in bedeutet, so folgt leicht nach und hieraus in entsprechender Weise nach usw., endlich nach . Demnach ist , d. h. der Grad der Verzweigungsgruppe ist gleich einer Potenz von ; wir setzen .

Es sei nun der kleinste von verschiedene unter den Exponenten , , , …, und es gebe im ganzen verschiedene Zahlen unter diesen Exponenten. Dann sind diese Zahlen notwendig Vielfache von und stimmen mit den Zahlen , , , …‚ überein; es ist ferner . Zugleich erkennen wir, daß alle Substitutionen der Trägheitsgruppe in die Gestalt gebracht werden können, wo die Werte , , …‚ annimmt und alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe durchläuft. Es ist folglich .

§ 42. Ein Satz über den Trägheitskörper.

Über das Verhalten der Ideale und im Körper gibt der folgende Satz Aufschluß:

Satz 72. Jede Zahl des Körpers K ist nach einer Zahl des Trägheitskörpers kongruent. Der Trägheitskörper bewirkt keine Zerlegung des Ideals , sondern nur eine Graderhöhung desselben, insofern beim Übergang vom Körper in den oberen Körper aus einem Primideal ersten Grades sich in ein Primideal -ten Grades verwandelt.

Beweis. Wir setzen

unter wieder eine Primitivzahl nach und unter die Substitution aus Satz 71

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 135. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/152&oldid=- (Version vom 31.7.2018)