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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

werden; ihre Anzahl sei $r_{v}$; sie bilden, wie leicht ersichtlich, eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe. Diese Untergruppe $r_{v}$-ten Grades werde die Verzweigungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt und mit $g_{v}$ bezeichnet. Der zu $g_{v}$ gehörige Körper $k_{v}$ heiße der Verzweigungskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$. Das Verhältnis der Verzweigungsgruppe zur Trägheitsgruppe wird genauer durch folgenden Satz charakterisiert:

Satz 71. Die Verzweigungsgruppe $g_{v}$ ist eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe; der Grad $r_{v}$ derselben ist eine Potenz von $p$, etwa $r_{v}=p^{l}$. Man erhält alle Substitutionen der Trägheitsgruppe und jede nur einmal, indem man die Substitutionen der Verzweigungsgruppe mit $1$, $t$, $t_{2}$, …, $t^{h-1}$ multipliziert, wo $h={\frac {r_{t}}{r_{v}}}$ und $t$ eine geeignet gewählte Substitution der Trägheitsgruppe ist. Die Zahl $h$ ist ein Teiler von $p^{f}-1$.

Beweis. Es sei ${\mathfrak {P}}^{u}$ eine so hohe Potenz von ${\mathfrak {P}}$, daß für jede von $1$ verschiedene Substitution $v$ der Verzweigungsgruppe die Inkongruenz $v{\mathsf {A}}\not \equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{u}$ gilt. Setzen wir nun $v{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}+{\mathsf {BA}}^{2}$ nach ${\mathfrak {P}}^{3}$, wo ${\mathsf {B}}$ eine ganze Zahl in $K$bedeutet, so folgt leicht $v^{p}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{3}$ und hieraus in entsprechender Weise $v^{p^{2}}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{4}$ usw., endlich $v^{p^{u-2}}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{u}$. Demnach ist $v^{p^{u-2}}=1$, d. h. der Grad $r_{v}$ der Verzweigungsgruppe ist gleich einer Potenz von $p$; wir setzen $r_{v}=p^{l}$.

Es sei nun $a$ der kleinste von $0$ verschiedene unter den Exponenten $a$, $a'$, $a''$, …, und es gebe im ganzen $h$ verschiedene Zahlen unter diesen Exponenten. Dann sind diese Zahlen notwendig Vielfache von $a$ und stimmen mit den Zahlen $0$, $a$, $2a$, …‚ $(h-1)a$ überein; es ist ferner $ha=p^{f}-1$. Zugleich erkennen wir, daß alle Substitutionen der Trägheitsgruppe in die Gestalt $t^{i}v$ gebracht werden können, wo $i$ die Werte $0$, $1$, …‚ $h-1$ annimmt und $v$ alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ durchläuft. Es ist folglich $r_{t}=hr_{v}$.

§ 42. Ein Satz über den Trägheitskörper.

Über das Verhalten der Ideale ${\mathfrak {P}}$ und ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k_{t}$ gibt der folgende Satz Aufschluß:

Satz 72. Jede Zahl des Körpers K ist nach ${\mathfrak {P}}$ einer Zahl des Trägheitskörpers kongruent. Der Trägheitskörper bewirkt keine Zerlegung des Ideals ${\mathfrak {p}}$, sondern nur eine Graderhöhung desselben, insofern ${\mathfrak {p}}$ beim Übergang vom Körper $k_{z}$ in den oberen Körper $k_{t}$ aus einem Primideal ersten Grades sich in ein Primideal $f$-ten Grades verwandelt.

Beweis. Wir setzen

${\begin{aligned}\pi &=\{v{\mathsf {P}}\cdot v'{\mathsf {P}}\cdot v''{\mathsf {P}}\ldots \}^{p^{l(f-1)}},\\\varkappa &={\frac {1}{h}}(\pi +t\pi +t^{2}\pi +\cdots +t^{h-1}\pi );\end{aligned}}$

unter ${\mathsf {P}}$ wieder eine Primitivzahl nach ${\mathfrak {P}}$ und unter $t$ die Substitution aus Satz 71

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 135. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/152&oldid=- (Version vom 31.7.2018)