§ 40. Ein Satz über den Zerlegungskörper.
Die wichtigste Eigenschaft des Zerlegungskörpers findet in folgendem Satze ihren Ausdruck:
Satz 70. Das Ideal
liegt im Zerlegungskörper
und ist in diesem ein Primideal ersten Grades. Im Zerlegungskörper
wird
, wo
ein zu
primes Ideal ist.
Beweis. Die Relativnorm des Primideals
in bezug auf den Körper
ist
. Um nun die niedrigste in
liegende Potenz des Primideals
zu ermitteln, denken wir uns den größten gemeinsamen Teiler aller derjenigen ganzen Zahlen des Körpers
bestimmt, welche durch
teilbar sind. Dieser Teiler ist notwendig im Körper
ein Primideal
, und, da
in
liegt, so ist
jedenfalls eine Potenz von
; wir setzen
. Zur Bestimmung des Exponenten
dient die folgende Betrachtung. Soll eine durch
nicht teilbare Zahl
des Körpers
der Kongruenz
nach
genügen, und ist etwa
nach
, so muß notwendig
nach
und folglich
eine durch
teilbare Zahl sein, d. h. es gibt nur
einander nach
inkongruente Zahlen von der gewünschten Beschaffenheit, und es wird daher
nach
, wo
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Aus dieser Betrachtung folgt insbesondere, daß jede Zahl
des Körpers
einer rationalen Zahl
nach
und mithin auch nach
kongruent ist, d. h.
ist im Körper
ein Primideal ersten Grades, und die Norm
im Körper
ist folglich gleich
. Andererseits ist die Norm von
im Körper
durch die Formel
gegeben, und wegen
und
folgt somit
, d. h.
.
Aus der Definition der Zerlegungsgruppe ergibt sich
, wo
ein zu
primes Ideal bedeutet. Setzen wir
, so wird
und folglich
, womit auch der letzte Teil des Satzes 70 bewiesen ist.
§ 41.
Der Verzweigungskörper eines Primideals
.
Um den Bau der Trägheitsgruppe näher zu erforschen, bezeichnen wir jetzt mit
eine feste durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl des Körpers
und ermitteln für alle Substitutionen
,
,
, … der Trägheitsgruppe die Kongruenzen
|
|
wo
,
,
, … Zahlen aus der Reihe
,
,
, …‚
bedeuten. Diejenigen unter den Substitutionen
,
,
, …‚ für welche die betreffenden Exponenten
,
,
, … den Wert
haben, mögen mit
,
,
, … bezeichnet