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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

§ 40. Ein Satz über den Zerlegungskörper.

Die wichtigste Eigenschaft des Zerlegungskörpers findet in folgendem Satze ihren Ausdruck:

Satz 70. Das Ideal ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{r_{t}}$ liegt im Zerlegungskörper $k_{z}$ und ist in diesem ein Primideal ersten Grades. Im Zerlegungskörper $k_{z}$ wird $p={\mathfrak {pa}}$, wo ${\mathfrak {a}}$ ein zu ${\mathfrak {p}}$ primes Ideal ist.

Beweis. Die Relativnorm des Primideals ${\mathfrak {P}}$ in bezug auf den Körper $k_{z}$ ist $N_{k_{z}}({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}^{r_{z}}$. Um nun die niedrigste in $k_{z}$ liegende Potenz des Primideals ${\mathfrak {P}}$ zu ermitteln, denken wir uns den größten gemeinsamen Teiler aller derjenigen ganzen Zahlen des Körpers $k_{z}$ bestimmt, welche durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar sind. Dieser Teiler ist notwendig im Körper $k_{z}$ ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, und, da ${\mathfrak {P}}^{r_{z}}$ in $k_{z}$ liegt, so ist ${\mathfrak {p}}$ jedenfalls eine Potenz von ${\mathfrak {P}}$; wir setzen ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{u}$. Zur Bestimmung des Exponenten $u$ dient die folgende Betrachtung. Soll eine durch ${\mathfrak {P}}$ nicht teilbare Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$ der Kongruenz ${\mathsf {A}}\equiv z{\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}$ genügen, und ist etwa ${\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {P}}^{i}$ nach ${\mathfrak {P}}$, so muß notwendig $i\equiv pi$ nach $p^{f}-1$ und folglich $i$ eine durch $1+p+p^{2}+\cdots +p^{f-1}$ teilbare Zahl sein, d. h. es gibt nur $p-1$ einander nach ${\mathfrak {P}}$ inkongruente Zahlen von der gewünschten Beschaffenheit, und es wird daher ${\mathsf {A}}\equiv a$ nach ${\mathfrak {P}}$, wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Aus dieser Betrachtung folgt insbesondere, daß jede Zahl $\alpha$ des Körpers $k_{z}$ einer rationalen Zahl $a$ nach ${\mathfrak {P}}$ und mithin auch nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent ist, d. h. ${\mathfrak {p}}$ ist im Körper $k_{z}$ ein Primideal ersten Grades, und die Norm $n({\mathfrak {p}})$ im Körper $k_{z}$ ist folglich gleich $p$. Andererseits ist die Norm von ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K$ durch die Formel $N({\mathfrak {p}})=[n({\mathfrak {p}})]^{r_{z}}$ gegeben, und wegen ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{u}$ und $N({\mathfrak {P}})=p^{f}$ folgt somit $p^{uf}=p^{r_{z}}$, d. h. $u=r_{t}$.

Aus der Definition der Zerlegungsgruppe ergibt sich $N({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}^{r_{z}}{\mathfrak {A}}$, wo ${\mathfrak {A}}$ ein zu ${\mathfrak {P}}$ primes Ideal bedeutet. Setzen wir $p={\mathfrak {pa}}$, so wird $N({\mathfrak {P}})=p^{f}={\mathfrak {p}}^{f}{\mathfrak {a}}^{f}$ und folglich ${\mathfrak {a}}^{f}={\mathfrak {A}}$, womit auch der letzte Teil des Satzes 70 bewiesen ist.

§ 41. Der Verzweigungskörper eines Primideals ${\mathfrak {P}}$.

Um den Bau der Trägheitsgruppe näher zu erforschen, bezeichnen wir jetzt mit ${\mathsf {A}}$ eine feste durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbare Zahl des Körpers $K$ und ermitteln für alle Substitutionen $t$, $t'$, $t''$, … der Trägheitsgruppe die Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}t{\mathsf {A}}&\equiv {\mathsf {P}}^{a}{\mathsf {A}},\\t'{\mathsf {A}}&\equiv {\mathsf {P}}^{a'}{\mathsf {A}},\\t''{\mathsf {A}}&\equiv {\mathsf {P}}^{a''}{\mathsf {A}},\\&~~\!\vdots \end{aligned}}\right\}\;({\mathfrak {P}}^{2}),$

wo $a$, $a'$, $a''$, … Zahlen aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …‚ $p^{f}-2$ bedeuten. Diejenigen unter den Substitutionen $t$, $t'$, $t''$, …‚ für welche die betreffenden Exponenten $a$, $a'$, $a''$, … den Wert $0$ haben, mögen mit $v$, $v'$, $v''$, … bezeichnet

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 134. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/151&oldid=- (Version vom 31.7.2018)