Um die übrigen Behauptungen des Satzes 69 zu beweisen, bestimmen wir eine Primitivzahl
des Primideals
, welche kongruent
nach allen zu
konjugierten und von
verschiedenen Primidealen ist. Die Möglichkeit der Bestimmung einer solchen Primitivzahl folgt aus Satz 25; dann bilden wir die ganzzahlige Funktion
-ten Grades von
.
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Da
eine Wurzel der ganzzahligen Kongruenz
nach
ist, so genügt nach Satz 27 auch
der nämlichen Kongruenz, und hieraus folgt, daß es unter den
Substitutionen
, …,
notwendig eine Substitution
von der Art gibt, daß
nach
wird. Wäre nun
so bestände infolge der Wahl von
die Kongruenz
nach
‚ und folglich müßte
nach
sein, was der vorhin gefundenen Kongruenz widerspräche.
Wegen
gehört die Substitution
zur Zerlegungsgruppe. Wir setzen
. Die wiederholte Anwendung der Substitution
auf die Kongruenz
nach
liefert die weiteren Kongruenzen
,
, …,
nach
. Infolge der letzten Kongruenz ist
eine Substitution der Trägheitsgruppe. Denn jede beliebige ganze Zahl
des Körpers
kann in der Gestalt
oder
dargestellt werden, wo
eine ganze rationale Zahl und
eine durch
teilbare Zahl des Körpers bedeutet. Wegen
folgt daraus in der Tat
nach
.
Die Kongruenz
nach
lehrt, daß
nach
ist, wo
eine beliebige Substitution der Trägheitsgruppe
bedeutet. Setzen wir
und verstehen unter
eine beliebige ganze Zahl des Körpers
, so folgt, wenn
der Kongruenz
nach
genügt,
nach
, und desgleichen, wenn
nach
ist, d. h.
gehört der Trägheitsgruppe an.
Es sei nun
diejenige ganzzahlige Funktion
-ten Grades von
, welche
nach
ist; nach Satz 27 hat die Kongruenz
nach
die Wurzeln
,
, …,
, und nach Satz 26 besitzt sie keine anderen Kongruenzwurzeln.
Ist nun
eine beliebige Substitution der Zerlegungsgruppe, so folgt aus der Kongruenz
nach
notwendig
, und daher muß
nach
sein, wo
einen der
Werte
,
, …,
hat. Da andererseits
ist, so wird
nach
, und mithin ist
eine Substitution
der Trägheitsgruppe, d. h.
. In dieser letzteren Gestalt sind also sämtliche Substitutionen
,
,
, … der Zerlegungsgruppe darstellbar, und da auch umgekehrt
für
lauter von einander
verschiedene Substitutionen darstellt, so ist der letzte Teil des Satzes 69 bewiesen. Endlich erhellt jetzt auch die Invarianz der Trägheitsgruppe aus der oben bewiesenen Tatsache, daß
stets zu dieser Gruppe gehört.
Zugleich ergibt sich
.