Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/149

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

selbst gehört zu der Gruppe, welche allein aus $s_{1}=1$ besteht; zur Gruppe $G$ aller $M$ Substitutionen $s$ gehört der Körper der rationalen Zahlen. Umgekehrt gehört ein jeder Unterkörper $k$ des Galoisschen Körpers zu einer gewissen Untergruppe $g$ der Gruppe $G$. Diese Gruppe $g$ heiße die den Unterkörper $k$ bestimmende Untergruppe.

§ 39. Der Zerlegungskörper und der Trägheitskörper eines Primideals ${\mathfrak {P}}$.

Wählen wir nun ein bestimmtes Primideal ${\mathfrak {P}}$ vom Grade $f$ im Galoisschen Körper $K$ aus, so gibt es eine ganz bestimmte Reihe ineinander geschachtelter Unterkörper von $K$, welche für das Primideal ${\mathfrak {P}}$ charakteristisch sind, und deren merkwürdige Eigenschaften jetzt kurz entwickelt werden sollen.

Es sei $p$ die durch ${\mathfrak {P}}$ teilbare rationale Primzahl; ferner seien $z$, $z'$, $z''$, … diejenigen sämtlichen $r_{z}$ Substitutionen der Gruppe $G$, welche das Primideal ${\mathfrak {P}}$ ungeändert lassen; dieselben bilden eine Gruppe vom $r_{z}$-ten Grade, welche die Zerlegungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt und mit $g_{z}$ bezeichnet werden soll. Der zur Zerlegungsgruppe $g_{z}$, gehörige Körper $k_{z}$, werde Zerlegungskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt; derselbe ist vom Grade $m_{z}={\frac {M}{r_{z}}}$.

Weiter seien $t$, $t'$, $t''$, … sämtliche unter den Substitutionen $s$ der Gruppe $G$ von der Beschaffenheit, daß für jede beliebige ganze Zahl $\Omega$ des Körpers $K$ die Kongruenz $s\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}$ erfüllt ist und $r_{t}$ deren Anzahl; es folgt leicht, daß diese $r_{t}$ Substitutionen eine Gruppe $r_{t}$-ten Grades bilden. Diese Gruppe werde die Trägheitsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt und mit $g_{t}$ bezeichnet. Der zur Trägheitsgruppe $g_{t}$ gehörige Körper $k_{t}$ werde Trägheitskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt; derselbe ist vom Grade $m_{t}={\frac {M}{r_{t}}}$.

Das Verhältnis der Trägheitsgruppe zur Zerlegungsgruppe wird durch folgende Tatsachen klargestellt:

Satz 69. Die Trägheitsgruppe $g_{t}$, des Primideals ${\mathfrak {P}}$ ist eine invariante Untergruppe der Zerlegungsgruppe $g_{z}$. Man erhält alle Substitutionen der Zerlegungsgruppe und jede nur einmal, wenn man die Substitutionen der Trägheitsgruppe mit $1$, $z$, $z^{2}$, …‚ $z^{f-1}$ multipliziert, wo $z$ eine geeignet gewählte Substitution der Zerlegungsgruppe ist.

Beweis. Es sei $t$ eine beliebige Substitution in $g_{t}$ und $\Omega$ eine durch ${\mathfrak {P}}$ teilbare ganze Zahl des Körpers $K$. Setzen wir $\Omega '=t^{-1}\Omega$, so ist infolge der Eigenschaft der Trägheitsgruppe $\Omega '\equiv t\Omega '\equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}$, d. h. $\Omega '\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$. Die Anwendung der Substitution $t$ ergibt $\Omega \equiv 0$ nach dem Primideal $t{\mathfrak {P}}$. Da diese Kongruenz für jede Zahl $\Omega$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$ gilt, so muß ${\mathfrak {P}}$ durch $t{\mathfrak {P}}$ teilbar sein, und folglich ist ${\mathfrak {P}}=t{\mathfrak {P}}$, d. h. die Trägheitsgruppe $g_{t}$ ist eine Untergruppe der Zerlegungsgruppe $g_{z}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 132. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/149&oldid=- (Version vom 31.7.2018)