Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/149

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

selbst gehört zu der Gruppe, welche allein aus besteht; zur Gruppe aller Substitutionen gehört der Körper der rationalen Zahlen. Umgekehrt gehört ein jeder Unterkörper des Galoisschen Körpers zu einer gewissen Untergruppe der Gruppe . Diese Gruppe heiße die den Unterkörper bestimmende Untergruppe.

§ 39. Der Zerlegungskörper und der Trägheitskörper eines Primideals .

Wählen wir nun ein bestimmtes Primideal vom Grade im Galoisschen Körper aus, so gibt es eine ganz bestimmte Reihe ineinander geschachtelter Unterkörper von , welche für das Primideal charakteristisch sind, und deren merkwürdige Eigenschaften jetzt kurz entwickelt werden sollen.

Es sei die durch teilbare rationale Primzahl; ferner seien , , , … diejenigen sämtlichen Substitutionen der Gruppe , welche das Primideal ungeändert lassen; dieselben bilden eine Gruppe vom -ten Grade, welche die Zerlegungsgruppe des Primideals genannt und mit bezeichnet werden soll. Der zur Zerlegungsgruppe , gehörige Körper , werde Zerlegungskörper des Primideals genannt; derselbe ist vom Grade .

Weiter seien , , , … sämtliche unter den Substitutionen der Gruppe von der Beschaffenheit, daß für jede beliebige ganze Zahl des Körpers die Kongruenz nach erfüllt ist und deren Anzahl; es folgt leicht, daß diese Substitutionen eine Gruppe -ten Grades bilden. Diese Gruppe werde die Trägheitsgruppe des Primideals genannt und mit bezeichnet. Der zur Trägheitsgruppe gehörige Körper werde Trägheitskörper des Primideals genannt; derselbe ist vom Grade .

Das Verhältnis der Trägheitsgruppe zur Zerlegungsgruppe wird durch folgende Tatsachen klargestellt:

Satz 69. Die Trägheitsgruppe , des Primideals ist eine invariante Untergruppe der Zerlegungsgruppe . Man erhält alle Substitutionen der Zerlegungsgruppe und jede nur einmal, wenn man die Substitutionen der Trägheitsgruppe mit , , , …‚ multipliziert, wo eine geeignet gewählte Substitution der Zerlegungsgruppe ist.

Beweis. Es sei eine beliebige Substitution in und eine durch teilbare ganze Zahl des Körpers . Setzen wir , so ist infolge der Eigenschaft der Trägheitsgruppe nach , d. h. nach . Die Anwendung der Substitution ergibt nach dem Primideal . Da diese Kongruenz für jede Zahl des Primideals gilt, so muß durch teilbar sein, und folglich ist , d. h. die Trägheitsgruppe ist eine Untergruppe der Zerlegungsgruppe .

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 132. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/149&oldid=- (Version vom 31.7.2018)