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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

Zweiter Teil.

Der Galoissche Zahlkörper.

10. Die Primideale des Galoisschen Körpers und seiner Unterkörper.

§ 36. Die eindeutige Zerlegung der Ideale des Galoisschen Körpers in Primideale.

Ein solcher Zahlkörper $K$, welcher mit den sämtlichen zu ihm konjugierten Körpern übereinstimmt, heißt ein Galoischer Körper. Ist $k$ ein beliebiger Zahlkörper $m$-ten Grades, und sind $k'$, …, $k^{(m-1)}$ die zu $k$ konjugierten Körper, so kann aus sämtlichen Zahlen der Körper $k$, $k'$, …, $k^{(m-1)}$ ein neuer Körper $K$ zusammengesetzt werden; dieser Körper $K$ ist dann notwendig ein Galoisscher Körper, welcher die Körper $k$, $k'$, …, $k^{(m-1)}$ als Unterkörper enthält. Ein jeder beliebige Körper $k$ kann mithin stets als ein Körper aufgefaßt werden, welcher in einem Galoisschen Körper als Unterkörper enthalten ist. Infolge dieses Umstandes ist es keine wesentliche Einschränkung, wenn wir bei der Erforschung der Eigenschaften der algebraischen Zahlen von vornherein einen Galoisschen Körper zugrunde legen und dann entwickeln, in welcher Weise die Zerlegungsgesetze für die Ideale dieses Galoisschen Körpers sich auf einen beliebigen in ihm enthaltenen Unterkörper übertragen.

Was zunächst den Beweis für die eindeutige Zerlegung der Ideale in Primideale betrifft, so gestaltet sich derselbe für einen Galoisschen Körper außerordentlich einfach [Hilbert (2^[1], 3^[2].)]. Um dies einzusehen, setzen wir zunächst einige Bezeichnungen fest.

Der Galoissche Körper $K$ vom $M$-ten Grade werde durch die gange Zahl $\Theta$ bestimmt; $\Theta$ genügt dann einer irreduziblen Gleichung $M$-ten Grades mit ganzen rationalen Koeffizienten. Die $M$ Wurzeln dieser Gleichung seien

$s_{1}\Theta =\Theta$, $s_{2}\Theta$, …, $s_{M}\Theta$,

wo $s_{1}$, …‚ $s_{M}$ rationale Funktionen von $\Theta$ mit rationalen Koeffizienten bedeuten. Werden $s_{1}$, …‚ $s_{M}$ als Substitutionen aufgefaßt, so bilden sie eine Gruppe $G$ vom $M$-ten Grade, da ja die aufeinander folgende Anwendung irgend zweier von den Substitutionen $s_{1}$, …‚ $s_{M}$ wiederum eine dieser Substitutionen ergeben muß. $G$ heiße die Gruppe des Galoisschen Körpers $K$.

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1. Zwei neue Beweise für die Zerlegbarkeit der Zahlen eines Körpers in Primideale. Jber. Dtsch. Mathem.-Verein. 3 (1893).
2. Über die Zerlegung der Ideale eines Zahlkörpers in Primideale. Math. Ann. 44 (1894).

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 129. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/146&oldid=- (Version vom 31.7.2018)