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Ringklassen. Die Bestimmung dieser Anzahl kann nach zwei verschiedenen Methoden, nämlich entweder auf einem rein arithmetischen Wege oder mit Verwendung analytischer Hilfsmittel, entsprechend der in § 25 und § 26 dargelegten Weise ausgeführt werden. Das hierbei sich ergebende Resultat ist folgendes [Dedekind (3[1])]:

Satz 66. Sind und die Anzahlen der Idealklassen des Körpers bez. des Ringes , beide für die engere Fassung des Klassenbegriffes, so ist

.

Auch die Begriffsbildungen des Kapitels 8 lassen sich auf den Ring übertragen; wir gelangen so zu dem Begriffe der zu einer Ringklasse gehörigen zerlegbaren Form.

§ 35. Der Modul und die Modulklasse.

Wenn , …‚ irgend ganze Zahlen des Körpers sind, zwischen denen keine lineare homogene Relation mit ganzen rationalen Koeffizienten besteht, so werde das System aller mittelst ganzer rationaler Koeffizienten , …, in der Gestalt darstellbaren Zahlen ein Modul des Körpers genannt und mit [, …‚ ] bezeichnet. Der Begriff des Moduls verhält sich mithin gegenüber den Operationen der Addition und Subtraktion invariant. Beispiele von Moduln sind das System aller ganzen Zahlen des Körpers , das Ideal, der Ring, das Ringideal. Zwei Moduln [, …‚ ] und [, …‚ ] heißen einander äquivalent, wenn zwei ganze Zahlen und existieren, so daß ist. Alle einander äquivalenten Moduln bilden eine Modulklasse. Dedekind nimmt den Begriff des Moduls in seinen Untersuchungen über algebraische Zahlen als Grundlage [Dedekind (1[2], 3[1], 6[3], 9[4])].

Das Quadrat der Determinante

ist, wie leicht ersichtlich, eine ganze rationale Zahl und überdies durch die quadrierte Norm des Ideals teilbar; der Quotient beider Quadrate werde mit bezeichnet. Bildet man diese Quotienten für einen beliebigen zu [, …‚ ] äquivalenten Modul, so ergibt sich jedesmal der nämliche Wert . Die ganze rationale Zahl ist mithin für die durch [, …‚ ] bestimmte Modulklasse charakteristisch und heißt die Diskriminante der Modulklasse.

Die Begriffe zerlegbare Form und Formenklasse werden für den Modul entsprechend definiert, wie dies in § 30 für den Körper selbst geschehen ist. [Dedekind (3[1])].



  1. a b c [356] Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877.
  2. [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]
  3. [356] Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.
  4. [356] Über eine Erweiterung des Symbols () in der Theorie der Moduln. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.[WS 2]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
  2. Dedekind, Richard: Ueber eine Erweiterung des Symbols () in der Theorie der Moduln, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 183–208 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 128. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/145&oldid=- (Version vom 31.7.2018)