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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.9

Ringklassen. Die Bestimmung dieser Anzahl kann nach zwei verschiedenen Methoden, nämlich entweder auf einem rein arithmetischen Wege oder mit Verwendung analytischer Hilfsmittel, entsprechend der in § 25 und § 26 dargelegten Weise ausgeführt werden. Das hierbei sich ergebende Resultat ist folgendes [Dedekind (3^[1])]:

Satz 66. Sind $h$ und $h_{r}$ die Anzahlen der Idealklassen des Körpers $k$ bez. des Ringes $r$, beide für die engere Fassung des Klassenbegriffes, so ist

${\frac {h_{r}}{h}}={\frac {\varphi ({\mathfrak {f}})}{\varphi _{r}({\mathfrak {f}})}}{\frac {w_{r}R}{wR_{r}}}$.

Auch die Begriffsbildungen des Kapitels 8 lassen sich auf den Ring übertragen; wir gelangen so zu dem Begriffe der zu einer Ringklasse gehörigen zerlegbaren Form.

§ 35. Der Modul und die Modulklasse.

Wenn $\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$ irgend $m$ ganze Zahlen des Körpers $k$ sind, zwischen denen keine lineare homogene Relation mit ganzen rationalen Koeffizienten besteht, so werde das System aller mittelst ganzer rationaler Koeffizienten $a_{1}$, …, $a_{m}$ in der Gestalt $a_{1}\mu _{1}+\cdots +a_{m}\mu _{m}$ darstellbaren Zahlen ein Modul des Körpers $k$ genannt und mit [$\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$] bezeichnet. Der Begriff des Moduls verhält sich mithin gegenüber den Operationen der Addition und Subtraktion invariant. Beispiele von Moduln sind das System aller ganzen Zahlen des Körpers $k$, das Ideal, der Ring, das Ringideal. Zwei Moduln [$\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$] und [$\lambda _{1}$, …‚ $\lambda _{m}$] heißen einander äquivalent, wenn zwei ganze Zahlen $\mu$ und $\lambda$ existieren, so daß $[\mu \mu _{1},\,\ldots ,\,\mu \mu _{m}]=[\lambda \lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda \lambda _{m}]$ ist. Alle einander äquivalenten Moduln bilden eine Modulklasse. Dedekind nimmt den Begriff des Moduls in seinen Untersuchungen über algebraische Zahlen als Grundlage [Dedekind (1^[2], 3^[1], 6^[3], 9^[4])].

Das Quadrat der Determinante

$\left|{\begin{array}{lll}\mu _{1},&\ldots ,&\mu _{m}\\\mu '_{1},&\ldots ,&\mu '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mu _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\mu _{m}^{(m-1)}\end{array}}\right|$

ist, wie leicht ersichtlich, eine ganze rationale Zahl und überdies durch die quadrierte Norm des Ideals ${\mathfrak {m}}=(\mu _{1},\,\ldots ,\,\mu _{m})$ teilbar; der Quotient beider Quadrate werde mit $\partial$ bezeichnet. Bildet man diese Quotienten für einen beliebigen zu [$\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$] äquivalenten Modul, so ergibt sich jedesmal der nämliche Wert $\partial$. Die ganze rationale Zahl $\partial$ ist mithin für die durch [$\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$] bestimmte Modulklasse charakteristisch und heißt die Diskriminante der Modulklasse.

Die Begriffe zerlegbare Form und Formenklasse werden für den Modul entsprechend definiert, wie dies in § 30 für den Körper selbst geschehen ist. [Dedekind (3^[1])].

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1. Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877.
2. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
3. Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.
4. Über eine Erweiterung des Symbols (${\mathfrak {a,\ b}}$) in der Theorie der Moduln. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
2. Dedekind, Richard: Ueber eine Erweiterung des Symbols (${\mathfrak {a,\ b}}$) in der Theorie der Moduln, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 183–208 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 128. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/145&oldid=- (Version vom 31.7.2018)