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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.9

Vermöge dieses Satzes 65 entsprechen die Teilbarkeits- und Zerlegungsgesetze der regulären Ringideale vollkommen den Gesetzen über die Teilbarkeit und Zerlegung der zu ${\mathfrak {f}}$ primen Körperideale.

Da wir im folgenden nur reguläre Ringideale betrachten, so lassen wir der Kürze halber den Zusatz „regulär“ fort, so daß von nun an unter einem Ringideal stets ein reguläres Ringideal verstanden wird.

Es ist aus Satz 23 zu entnehmen, daß in dem Körper $k$ stets $\varphi ({\mathfrak {f}})$ nach dem Ideal ${\mathfrak {f}}$ inkongruente, zu ${\mathfrak {f}}$ prime ganze Zahlen vorhanden sind. Wenn eine von diesen dem Ringe $r$ angehört, so liegen offenbar auch alle diejenigen Zahlen im Ringe $r$, welche dieser Zahl nach dem Führer ${\mathfrak {f}}$ kongruent sind. Die Anzahl der nach ${\mathfrak {f}}$ inkongruenten und zu ${\mathfrak {f}}$ primen dem Ringe $r$ angehörigen Zahlen ist ein Teiler von $\varphi ({\mathfrak {f}})$ und werde mit $\varphi _{r}({\mathfrak {f}})$ bezeichnet.

Unter der Norm $n({\mathfrak {a}}_{r})$ eines Ringideals ${\mathfrak {a}}_{r}$ versteht man die Norm des dem Ringideal zugeordneten Körperideals ${\mathfrak {a}}$. Die elementaren Sätze über Normen von Ringidealen sind mit dieser Definition gegeben.

§ 34. Die Einheiten eines Ringes. Die Ringklassen.

Auch der Satz von der Existenz der Grundeinheiten ist ohne Schwierigkeit auf einen Ring übertragbar; dieser Satz folgt am einfachsten aus dem entsprechenden Satze für die Einheiten des Körpers, wenn man bedenkt, daß, wie aus Satz 24 folgt, jede Einheit des Körpers durch Erheben in die $\varphi ({\mathfrak {f}})$-te Potenz in eine Einheit des Ringes übergehen muß. Der Satz hat genau die für den Körper $k$ geltende Form des Satzes 47; für die in Satz 47 mit $r$ bezeichnete Anzahl werde hier $s$ geschrieben. Es mögen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{s}$ ein System von $s$ Grundeinheiten des Ringes $r$ bedeuten, d. h. ein System von $s$ Einheiten im Ringe $r$, durch deren Produkte unter Zuhilfenahme der Einheitswurzeln des Ringes sich sämtliche Einheiten in $r$ ausdrücken lassen. Dann heißt die positiv genommene Determinante der $s$ ersten Logarithmen zu diesen Einheiten der Regulator $R_{r}$ des Ringes $r$. Die Anzahl der im Ringe $r$ gelegenen Einheitswurzeln werde mit $w_{r}$ bezeichnet [Dedekind (3^[1])].

Zwei Ringideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ heißen einander äquivalent, wenn zwei ganze Zahlen $\mu$ und $\lambda$ existieren, so daß $\mu {\mathfrak {a}}=\lambda {\mathfrak {b}}$ ist. Dabei werde der Äquivalenzbegriff hier in der in § 24 erwähnten engeren Fassung genommen und demgemäß die Einschränkung gemacht, daß $\textstyle {\frac {\mu }{\lambda }}$ eine positive Norm besitze. Alle einander äquivalenten Ringideale bilden eine Ringklasse. Ein Ringideal ($\alpha$), wo $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {f}}$ prime ganze Zahl mit positiver Norm bedeutet, wird ein Hauptringideal, die Klasse dieser die Hauptringklasse genannt. Die weiteren Definitionen und die Sätze über die Multiplikation der Ringklassen entsprechen genau denjenigen, die in §§ 22, 28, 29 für die Idealklassen eines Körpers aufgestellt sind; auch folgt ähnlich, wie in § 22 die Endlichkeit der Anzahl der

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1. Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 127. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/144&oldid=- (Version vom 31.7.2018)