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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.9

Gehören zu den beiden Idealen ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$ bezüglich die beiden Formen $U$, $V$, so heißt jede zu dem Ideale ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {ab}}$ gehörige Form $W$ eine aus den Formen $U$ und $V$ zusammengesetzte Form [Dedekind (1^[1])].

Die Entscheidung der Frage, ob zwei vorgelegte, zum Körper $k$ gehörige Formen zu derselben oder zu verschiedenen Formenklassen gehören, kommt, der obigen Entwicklung zufolge, auf die Frage nach der Äquivalenz zweier vorgelegter Ideale hinaus und erfordert daher zu ihrer Entscheidung nur eine endliche Anzahl von Operationen. Vgl. § 24.

9. Die Zahlringe des Körpers.

§ 31. Der Zahlring. Das Ringideal und seine wichtigsten Eigenschaften.

Sind $\vartheta$, $\eta$, … irgend welche ganze algebraische Zahlen, deren Rationalitätsbereich der Körper $k$ vom $m$-ten Grade ist, so wird das System aller ganzen Funktionen von $\vartheta$, $\eta$, …‚ deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen sind, ein Zahlring, Ring oder Integritätsbereich^[2] genannt. Die Addition, Subtraktion und Multiplikation zweier Zahlen eines Ringes liefert wiederum eine Zahl des Ringes. Der Begriff des Ringes ist mithin gegenüber den drei Rechnungsoperationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation invariant. Der größte Zahlring des Körpers $k$ ist der durch $\omega _{1}$, …,$\omega _{m}$ bestimmte Ring, wo $\omega _{1}$, …,$\omega _{m}$ die Zahlen einer Körperbasis bedeuten. Derselbe umfaßt alle ganzen Zahlen des Körpers. Jeder Zahlring $r$ enthält $m$ ganze Zahlen $\varrho _{1}$, …, $\varrho _{m}$ von der Art, daß jede andere Zahl $\varrho$ des Ringes in der Gestalt

$\varrho =a_{1}\varrho _{1}+\cdots +a_{m}\varrho _{m}$

dargestellt werden kann, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen sind. Die Zahlen $\varrho _{1}$, …, $\varrho _{m}$ heißen eine Basis des Ringes. Bezeichnen wir die zu $\varrho _{1}$, …, $\varrho _{m}$ konjugierten Zahlen bez. mit $\varrho '_{1}$, …, $\varrho '_{m}$, …,$\varrho _{1}^{(m-1)}$, …, $\varrho _{m}^{(m-1)}$, so ist das Quadrat der Determinante

$\left|{\begin{aligned}&\varrho _{1},&&...,\varrho _{m}\\&\varrho '_{1},&&...,\varrho '_{m}\\&&&\vdots \\&\varrho _{1}^{(m-1)},&&...,\varrho _{m}^{(m-1)}\end{aligned}}\right|$.

eine rationale Zahl und heißt die Diskriminante $d_{r}$ des Ringes $r$.

Ein Ringideal oder ein Ideal des Ringes $r$ wird ein solches unendliches System von ganzen algebraischen Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, … des Ringes $r$ genannt, welches die Eigenschaft besitzt, daß eine jede lineare Kombination $\lambda _{1}\alpha _{1}+\lambda _{2}\alpha _{2}+\cdots$ derselben wiederum dem System angehört, wobei die Koeffizienten $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, … beliebige Zahlen des Ringes $r$ sind. Jedes Ringideal enthält

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
2. Nach Dedekind „eine Ordnung“.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 121. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/138&oldid=- (Version vom 31.7.2018)