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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.8

gesetzt wird, so folgt $B=B'^{\ a'}B''^{\ a''}\ldots$. Es kann also $B',B'',\ldots$ an Stelle von $B$ eingeführt werden. Sind die Klassen $A_{1},\ldots ,A_{q}$ in der zuletzt beschriebenen Weise gewählt, so heißen dieselben ein System von Grundklassen.

§ 29. Die Charaktere einer Idealklasse. Eine Verallgemeinerung der Funktion $\zeta (s)$.

Nachdem ein bestimmtes System von Grundklassen ausgewählt worden ist, ist eine jede vorhandene Klasse $A$ durch die Exponenten $x_{1},\ldots ,x_{q}$ und mithin auch durch die $q$ Einheitswurzeln

$\chi _{1}(A)=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi x_{1}}{h_{1}}},\ldots ,\chi _{q}(A)=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi x_{q}}{h_{q}}}$

eindeutig bestimmt. Diese $q$ Einheitswurzeln $\chi (A)$ heißen die Charaktere der Klasse $A$. Sind $\chi (A)$, $\chi (B)$ Charaktere der beiden Klassen $A$, bez. $B$, so ist offenbar $\chi (AB)=\chi (A)\chi (B)$. Der Charakter $\chi (A)$ einer Klasse wird zugleich auch als der Charakter $\chi ({\mathfrak {a}})$ eines jeden in $A$ enthaltenen Ideals ${\mathfrak {a}}$ bezeichnet.

Mit Hilfe eines Charakters $\chi$ läßt sich dann eine Funktion bilden, welche eine Verallgemeinerung der oben betrachteten Funktion $\zeta (s)$ ist, und welche eine ähnliche Produktentwicklung gestattet [Dedekind (1^[1])]. Diese Funktion ist

$\sum \limits _{({\mathfrak {j}})}{\frac {\chi ({\mathfrak {j}})}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}=\prod \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-\chi ({\mathfrak {p}})n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$,

wo die Summe über alle Ideale ${\mathfrak {j}}$ und das Produkt über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken ist.

8. Die zerlegbaren Formen des Körpers.

§ 30. Die zerlegbaren Formen des Körpers. Die Formenklassen und ihre Zusammensetzung.

Wenn $\xi ^{(1)},\ \ldots ,\ \xi ^{(m)}\ m$ lineare Formen der $m$ Veränderlichen $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ mit beliebigen reellen oder imaginären Koeffizienten sind, so heißt das Produkt

$U(u_{1},\ \ldots ,u_{m})=\xi ^{(1)}\ldots \ \xi ^{(m)}$

eine zerlegbare Form $m$-ten Grades der $m$ Veränderlichen $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$. Die Koeffizienten der Produkte von $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ heißen die Koeffizienten der Form. Berücksichtigt man die Formeln

$-{\frac {\partial ^{2}\log U}{\partial u_{r}\partial u_{s}}}={\frac {\partial \log \xi ^{(1)}}{\partial u_{r}}}{\frac {\partial \log \xi ^{(1)}}{\partial u_{s}}}+\cdots +{\frac {\partial \log \xi ^{(m)}}{\partial u_{r}}}{\frac {\partial \log \xi ^{(m)}}{\partial u_{s}}}$,

$(r,\ s=1,\ \dots ,\ m)$

so folgt leicht aus dem Multiplikationssatz der Determinanten, daß das Quadrat der Determinante der $m$ linearen Formen $\xi ^{(1)},\ldots ,\xi ^{(m)}$ gleich $(-1)^{m}U^{2}\sum \pm {\frac {\partial ^{2}\log U}{\partial u_{1}\partial u_{1}}}\dots {\frac {\partial ^{2}\log U}{\partial u_{m}\partial u_{m}}}$ und daher eine ganze ganzzahlige Funktion

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 119. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/136&oldid=- (Version vom 31.7.2018)