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gesetzt wird, so folgt . Es kann also an Stelle von eingeführt werden. Sind die Klassen in der zuletzt beschriebenen Weise gewählt, so heißen dieselben ein System von Grundklassen.

§ 29. Die Charaktere einer Idealklasse. Eine Verallgemeinerung der Funktion .

Nachdem ein bestimmtes System von Grundklassen ausgewählt worden ist, ist eine jede vorhandene Klasse durch die Exponenten und mithin auch durch die Einheitswurzeln

eindeutig bestimmt. Diese Einheitswurzeln heißen die Charaktere der Klasse . Sind , Charaktere der beiden Klassen , bez. , so ist offenbar . Der Charakter einer Klasse wird zugleich auch als der Charakter eines jeden in enthaltenen Ideals bezeichnet.

Mit Hilfe eines Charakters läßt sich dann eine Funktion bilden, welche eine Verallgemeinerung der oben betrachteten Funktion ist, und welche eine ähnliche Produktentwicklung gestattet [Dedekind (1[1])]. Diese Funktion ist

,

wo die Summe über alle Ideale und das Produkt über alle Primideale des Körpers zu erstrecken ist.

8. Die zerlegbaren Formen des Körpers.

§ 30. Die zerlegbaren Formen des Körpers. Die Formenklassen und ihre Zusammensetzung.

Wenn lineare Formen der Veränderlichen mit beliebigen reellen oder imaginären Koeffizienten sind, so heißt das Produkt

eine zerlegbare Form -ten Grades der Veränderlichen . Die Koeffizienten der Produkte von heißen die Koeffizienten der Form. Berücksichtigt man die Formeln

,

so folgt leicht aus dem Multiplikationssatz der Determinanten, daß das Quadrat der Determinante der linearen Formen gleich und daher eine ganze ganzzahlige Funktion


  1. [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 119. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/136&oldid=- (Version vom 31.7.2018)