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liegt daher der absolute Wert von unterhalb der Grenze , und mithin bestehen die Ungleichungen

, …, , ,

d. h. sämtliche konjugierten Werte der Einheit sind absolut kleiner als die Größe .

Nach Satz 43 kann nur eine endliche Anzahl solcher Einheiten existieren. Bezeichnen wir dieselben mit , …‚ , so folgt oder , wo einen der Werte , , …, hat. Ist eine beliebige jener Einheiten , …, , und bildet man die ersten Potenzen von , so werden nach dem eben Bewiesenen zwei geeignete von diesen Potenzen sich in der Gestalt bezüglich darstellen, wo beidemal die gleiche jener Einheiten bezeichnet; ihr Quotient besitzt mithin eine Darstellung von der Gestalt . Hiermit ist bewiesen, daß für jede Einheit ein Exponent existiert derart, daß ein Produkt von Potenzen der Einheiten , …, ist. Bezeichnen wir das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller Exponenten , …‚ mit , so hat dieser Exponent für alle Einheiten , …‚ zugleich jene Eigenschaft, und hieraus folgt, daß die ersten Logarithmen zu einer jeden beliebigen Einheit des Körpers die Darstellung

(12)

gestatten, wo , …, ganze rationale Zahlen sind.

Nunmehr wenden wir auf dieses unendliche System (12) der Logarithmen aller Einheiten die nämliche Schlußweise an, wie sie in Satz 5 (§3) zum Beweise der Existenz einer Körperbasis auseinandergesetzt worden ist; dann folgt, daß es ein System von Einheiten , …, gibt, durch deren zugehörige Logarithmen die Logarithmen zu jeder beliebigen Einheit des Körpers sich in der Gestalt

(12)

ausdrücken lassen, wo , …, ganze rationale Zahlen sind. Dieses System von Einheiten , …, genügt den Bedingungen des Satzes 47.

In der Tat: ist eine beliebige Einheit, deren zugehörige Logarithmen obige Gestalt besitzen, so ist eine Einheit, deren zugehörige Logarithmen offenbar sämtlich sind. Eine solche Einheit ist notwendig eine Einheitswurzel. Denn nach dem vorhin Bewiesenen ist ,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 107. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/124&oldid=- (Version vom 29.9.2019)