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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

§ 20. Beweis des Satzes von der Existenz der Einheiten.

Um nunmehr den Satz 47 zu beweisen, wählen wir dem Hilfssatz 9 gemäß in $k$ eine Einheit $\eta _{1}$, für welche $l_{1}(\eta _{1})\neq 0$ ausfällt, dann eine Einheit $\eta _{2}$, für welche die Determinante

$\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\eta _{1}),&l_{1}(\eta _{2})\\l_{2}(\eta _{1}),&l_{2}(\eta _{2})\end{array}}\right|\neq 0$

ferner eine Einheit $\eta _{3}$, für welche die Determinante

$\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\eta _{1}),&l_{1}(\eta _{2}),&l_{1}(\eta _{3})\\l_{2}(\eta _{1}),&l_{2}(\eta _{2}),&l_{2}(\eta _{3})\\l_{3}(\eta _{1}),&l_{3}(\eta _{2}),&l_{3}(\eta _{3})\end{array}}\right|\neq 0$

ausfällt usf.; man gelangt so zu einem System von Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{r}$, für welche schließlich die Determinante

$\left|{\begin{array}{lll}l_{1}(\eta _{1}),&\ldots ,&l_{1}(\eta _{r})\\\vdots &\ddots &\vdots \\l_{r}(\eta _{1}),&\ldots ,&l_{r}(\eta _{r})\end{array}}\right|\neq 0$

ist. Infolgedessen lassen sich, wenn ${\mathsf {H}}$ eine beliebige Einheit im Körper ist, die $r$ ersten Logarithmen zu ${\mathsf {H}}$ stets in die Gestalt

${\begin{aligned}l_{1}({\mathsf {H}})&=e_{1}l_{1}(\eta _{1})+\cdots +e_{r}l_{1}(\eta _{r}),\\&\qquad \qquad \vdots \\l_{r}({\mathsf {H}})&=e_{1}l_{r}(\eta _{1})+\cdots +e_{r}l_{r}(\eta _{r})\end{aligned}}$

bringen, wo $e_{1}$, …, $e_{r}$ reelle Größen bedeuten. Diese Darstellung wiederum zeigt, daß

${\begin{aligned}l_{1}({\mathsf {H}})&=m_{1}l_{1}(\eta _{1})+\cdots +m_{r}l_{1}(\eta _{r})+E_{1},\\&\qquad \qquad \vdots \\l_{r}({\mathsf {H}})&=m_{1}l_{r}(\eta _{1})+\cdots +m_{r}l_{r}(\eta _{r})+E_{r}\end{aligned}}$

gesetzt werden kann, wo $m_{1}$, …‚ $m_{r}$ die numerisch größten ganzen rationalen, bezüglich in $e_{1}$, …, $e_{r}$ enthaltenen Zahlen bedeuten. Die Zahlen $E_{1}$, …‚ $E_{r}$ sind nun ebenfalls von der Gestalt

${\begin{aligned}E_{1}({\mathsf {H}})&=\mu _{1}l_{1}(\eta _{1})+\cdots +\mu _{r}l_{1}(\eta _{r}),\\&\qquad \qquad \vdots \\E_{r}({\mathsf {H}})&=\mu _{1}l_{r}(\eta _{1})+\cdots +\mu _{r}l_{r}(\eta _{r}).\end{aligned}}$

Da hierin $\mu _{1}$, …, $\mu _{r}$ reelle Größen $\geqq 0$ und $<1$ bedeuten, so liegen die Werte $E_{1}$, …‚ $E_{r}$, absolut genommen, sämtlich unterhalb einer Grenze $\varkappa$, welche nicht von ${\mathsf {H}}$ abhängig ist, d. h. die sämtlichen $r$ ersten Logarithmen zur Einheit

${\overline {\mathsf {H}}}={\frac {\mathsf {H}}{\eta _{1}^{m_{1}}\cdots \eta _{r}^{m_{r}}}}$

liegen absolut unterhalb der Grenze $\varkappa$. Wegen $l_{1}\left({\overline {\mathsf {H}}}\right)+\cdots +l_{r+1}\left({\overline {\mathsf {H}}}\right)=0$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 106. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/123&oldid=- (Version vom 31.7.2018)