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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

Dem Satz 42 zufolge gibt es daher im Körper $k$ eine von $0$ verschiedene Zahl $\alpha$ derart, daß

$\left|\alpha ^{(1)}\right|\leqq \Lambda _{1}$, …, $\left|\alpha ^{(m)}\right|\leqq \Lambda _{m}$

(10)

und folglich zugleich $|n(\alpha )|\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ wird. Wegen $|n(\alpha )|\geqq 1$ ist für alle Werte $s=1$, $2$‚ …, $m$:

$\left|\alpha ^{(s)}\right|\geqq {\frac {1}{\left|\alpha ^{(1)}\right|\cdots \left|\alpha ^{(s-1)}\right|\left|\alpha ^{(s+1)}\right|\cdots \left|\alpha ^{(m)}\right|}}$;

wenn wir daher die Ungleichungen

$\left|{\frac {1}{\alpha ^{(1)}}}\right|\geqq {\frac {1}{\Lambda _{1}}}$, …, $\left|{\frac {1}{\alpha ^{(m)}}}\right|\geqq {\frac {1}{\Lambda _{m}}}$,

$\Lambda _{1}\ldots \Lambda _{m}=\left|{\sqrt {d}}\right|$

berücksichtigen, so folgt

$\left|\alpha ^{(s)}\right|\geqq {\frac {\Lambda _{s}}{\left|{\sqrt {d}}\right|}}$.

(11)

Aus den beiden Ungleichungen (10) und (11) ergibt sich, wenn der reelle Wert von $\textstyle \log \left|{\sqrt {d}}\right|$ mit $\delta$ bezeichnet wird,

oder	$\left.{\begin{aligned}\lambda _{s}t\geqq l_{s}(\alpha )\geqq \lambda _{s}t-2\delta \\0\leqq \left|l_{s}(\alpha )-\lambda _{s}t\right|\leqq 2\delta \end{aligned}}\right\}$   ($s-1$, $2$, … $r$),

woraus zu ersehen ist, daß der Ausdruck

$\gamma _{1}\left\{l_{1}(\alpha )-\lambda _{1}t\right\}+\cdots +\gamma _{r}\left\{l_{r}(\alpha )-\lambda _{r}t\right\}=L(\alpha )-t$

zwischen gewissen endlichen Grenzen $\delta _{1}$ und $\delta _{2}>\delta _{1}$ liegt, welche nur von $d$ und $\gamma _{1}$, …‚ $\gamma _{r}$, dagegen nicht von dem Wert des Parameters $t$ abhängig sind.

Es werde nun eine Größe $\Delta >\delta _{2}-\delta _{1}$ bestimmt; bringt man dann für $t$ der Reihe nach die Werte $t=0$, $\Delta$, $2\Delta$‚ $3\Delta$, … in Anwendung, so wird man durch das beschriebene Verfahren eine unendliche Reihe von Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, … erhalten, deren Normen, absolut genommen, sämtlich $\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ sind, und für welche außerdem die Bedingungen $L(\alpha )<L(\beta )<L(\gamma )<\cdots$ erfüllt sind. Da in den ganzen rationalen Zahlen; deren absolute Beträge $\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ sind, nur eine endliche Anzahl untereinander verschiedener Ideale als Faktoren aufgehen, so kann in der unendlichen Reihe der Hauptideale $(\alpha )$, $(\beta )$, $(\gamma )$, … nur eine endliche Anzahl verschiedener Ideale vorkommen, und es werden daher unendlich viele Male zwei dieser Ideale einander gleich. Ist etwa $(\alpha )=(\beta )$, so stellt $\varepsilon ={\tfrac {\beta }{\alpha }}$ eine Einheit dar, welche wegen $L(\varepsilon )=L(\beta )-L(\alpha )>0$ die Bedingung unseres Hilfssatzes 9 erfüllt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 105. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/122&oldid=- (Version vom 31.7.2018)