, …‚
bezüglich der
, …‚
mit
; dann gelten für die absoluten Beträge die Formeln
|
, ,
|
woraus durch Multiplikation der Wert von
sich ergibt.
Im folgenden werden vornehmlich die ersten
Logarithmen
, …,
zur Form
oder zu einer Zahl
betrachtet. Für die
ersten Logarithmen zu
Formen
,
oder Zahlen
,
gelten offenbar die Gleichungen
|
( , …, ).
|
Nunmehr beweisen wir folgende Tatsache:
Hilfssatz 9. Im Körper
gibt es stets eine Einheit
, welche die Bedingung
|
|
erfüllt, wobei
, …,
beliebige vorgeschriebene, nicht sämtlich verschwindende reelle Konstante sind.
Beweis: Man setze, wenn
irgendeine ganze von
verschiedene Zahl in
bedeutet, zur Abkürzung
|
;
|
ferner bestimme man irgendein System von
reellen Größen
, …‚
, so daß
wird, und setze dann
|
, …, , , …, ,
|
wo
einen willkürlichen reellen Parameter bezeichnet. Es sind dann zwei Fälle
zu unterscheiden, je nachdem sämtliche
konjugierte Körper
, …‚
reell sind oder nicht. Im ersten Falle ordnen wir den
Körpern
, …‚
die Größen
, …‚
und dem übriggebliebenen letzten
Körper
die Konstante
zu. Im zweiten Fall ordnen
wir den Körpern
, …‚
wiederum die Größen
, …‚
zu, dem imaginären Körper
werde die Konstante
zugeordnet. Endlich ordnen wir den
übriggebliebenen imaginären
Körpern
, …‚
bezüglich die nämlichen Konstanten zu, wie sie bereits den konjugiert imaginären Körpern zugeordnet sind; wir bezeichnen
die betreffenden Konstanten mit
, …‚
. In beiden Fällen wird das Produkt
|
,
|
und die Konstanten
, …‚
erfüllen mithin die Bedingungen, denen
die Konstanten
, …,
des Satzes 42 genügen sollten.