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, …‚ bezüglich der , …‚ mit ; dann gelten für die absoluten Beträge die Formeln

, ,

woraus durch Multiplikation der Wert von sich ergibt.

Im folgenden werden vornehmlich die ersten Logarithmen , …, zur Form oder zu einer Zahl betrachtet. Für die ersten Logarithmen zu Formen , oder Zahlen , gelten offenbar die Gleichungen

 (, …, ).

Nunmehr beweisen wir folgende Tatsache:

Hilfssatz 9. Im Körper gibt es stets eine Einheit , welche die Bedingung

erfüllt, wobei , …, beliebige vorgeschriebene, nicht sämtlich verschwindende reelle Konstante sind.

Beweis: Man setze, wenn irgendeine ganze von verschiedene Zahl in bedeutet, zur Abkürzung

;

ferner bestimme man irgendein System von reellen Größen , …‚ , so daß wird, und setze dann

, …, , , …, ,

wo einen willkürlichen reellen Parameter bezeichnet. Es sind dann zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem sämtliche konjugierte Körper , …‚ reell sind oder nicht. Im ersten Falle ordnen wir den Körpern , …‚ die Größen , …‚ und dem übriggebliebenen letzten Körper die Konstante zu. Im zweiten Fall ordnen wir den Körpern , …‚ wiederum die Größen , …‚ zu, dem imaginären Körper werde die Konstante zugeordnet. Endlich ordnen wir den übriggebliebenen imaginären Körpern , …‚ bezüglich die nämlichen Konstanten zu, wie sie bereits den konjugiert imaginären Körpern zugeordnet sind; wir bezeichnen die betreffenden Konstanten mit , …‚ . In beiden Fällen wird das Produkt

,

und die Konstanten , …‚ erfüllen mithin die Bedingungen, denen die Konstanten , …, des Satzes 42 genügen sollten.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 104. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/121&oldid=- (Version vom 31.7.2018)