Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/120

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

dargestellt werden kann, wo $a_{1}$, …‚ $a_{r}$ ganze rationale Zahlen sind, und wo $\varrho$ eine in $k$ vorkommende Einheitswurzel bedeutet.

Um den Beweis dieses Satzes vorzubereiten, ordnen wir die $m$ konjugierten Körper $k^{(1)}$, …, $k^{(m)}$ in bestimmter Weise, wie folgt, an. Voran stellen wir die $r_{1}$ reellen Körper $k^{(1)}$, …‚ $k^{(r_{1})}$; dann wählen wir aus jedem der $r_{2}$ Paare konjugiert imaginärer Körper je einen aus; diese Körper seien: $k^{(r_{1}+1)}$, …, $k^{(r_{1}+r_{2})}$; darauf lassen wir die zu diesen konjugiert imaginären Körper folgen: $k^{(r_{1}+r_{2}+1)}$‚ …, $k^{(m)}$. Wir bilden nun mit den $m$ beliebigen reellen Veränderlichen $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ die $m$ Linearformen

$\xi _{s}=\omega _{1}^{(s)}u_{1}+\cdots +\omega _{m}^{(s)}u_{m}$, ($s=1$, $2$, …, $m$)

und schreiben noch $\xi _{1}=\xi$. Sind $\xi _{1}$, …, $\xi _{m}$ sämtlich $\neq 0$, so setzen wir im Falle, daß $k^{(s)}$ ein reeller Körper ist,

$\log \left|\xi _{s}\right|=l_{s}(\xi )$

und im Falle, daß $k^{(s)}$ und $k^{(s')}$ konjugiert imaginäre Körper sind,

${\begin{aligned}\log(\xi _{s})&={\tfrac {1}{2}}l_{s}(\xi )-il_{s'}(\xi ),\\\log(\xi _{s'})&={\tfrac {1}{2}}l_{s}(\xi )+il_{s'}(\xi ),\end{aligned}}$

wo $l_{1}(\xi )$, …‚ $l_{m}(\xi )$ sämtlich reelle Größen sind und insbesondere die Werte $l_{s'}(\xi )$ den Ungleichungen

$0\leqq l_{s'}(\xi )<2\pi$

genügen sollen; die Größen $l_{1}(\xi )$, …, $l_{m}(\xi )$ sind hierdurch als eindeutige reelle Funktionen der reellen Veränderlichen $u_{1}$, …, $u_{m}$ definiert; sie sollen die Logarithmen zur Form $\xi$ heißen. Bezeichnet ferner $ln(\xi )$ den reellen Teil des Logarithmus von $n(\xi )$, so ist

$l_{1}(\xi )+\cdots +l_{r+1}(\xi )=ln(\xi )$.

Sind $u_{1}$, …, $u_{m}$ ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich verschwinden, so stellt $\xi =\xi _{1}$ eine ganze von $0$ verschiedene Zahl $\alpha$ des Körpers $k=k^{(1)}$ dar. Die Größen $l_{1}(\xi )$, …‚ $l_{m}(\xi )$ sind dann eindeutig durch die Zahl $\alpha$ bestimmt und sollen die Logarithmen zur Zahl $\alpha$ heißen. Ist $\varepsilon$ eine Einheit des Körpers $k$, so besteht wegen $n(\varepsilon )=\pm 1$ die Gleichung

$l_{1}(\varepsilon )+l_{2}(\varepsilon )+\cdots +l_{r+1}(\varepsilon )=0$.

Die reellen Variabeln $u_{1}$, …, $u_{m}$ sind umgekehrt durch die Werte der Logarithmen $l_{1}(\xi )$‚ …‚ $l_{m}(\xi )$ $2^{r_{1}}$-deutig bestimmt, da durch letztere die $r_{1}$ reellen Werte $\xi _{1}$, …, $\xi _{r_{1}}$ nur bis auf das Vorzeichen, dagegen die übrigen konjugiert imaginären Wertepaare $\xi _{r_{1}+1}$, …,$\xi _{m}$ vollständig bestimmt sind.

Um die später anzuwendende Funktionaldeterminante dieses Abhängigkeitsverhältnisses zu berechnen, bezeichnen wir, wenn $f_{1}$, …‚ $f_{m}$ $m$ beliebige Funktionen der Variabeln $x_{1}$, …‚ $x_{m}$ sind, die Funktionaldeterminante der

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 103. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/120&oldid=- (Version vom 31.7.2018)