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dargestellt werden kann, wo , …‚ ganze rationale Zahlen sind, und wo eine in vorkommende Einheitswurzel bedeutet.

Um den Beweis dieses Satzes vorzubereiten, ordnen wir die konjugierten Körper , …, in bestimmter Weise, wie folgt, an. Voran stellen wir die reellen Körper , …‚ ; dann wählen wir aus jedem der Paare konjugiert imaginärer Körper je einen aus; diese Körper seien: , …, ; darauf lassen wir die zu diesen konjugiert imaginären Körper folgen: ‚ …, . Wir bilden nun mit den beliebigen reellen Veränderlichen , …‚ die Linearformen

, (, , …, )

und schreiben noch . Sind , …, sämtlich , so setzen wir im Falle, daß ein reeller Körper ist,

und im Falle, daß und konjugiert imaginäre Körper sind,

wo , …‚ sämtlich reelle Größen sind und insbesondere die Werte den Ungleichungen

genügen sollen; die Größen , …, sind hierdurch als eindeutige reelle Funktionen der reellen Veränderlichen , …, definiert; sie sollen die Logarithmen zur Form heißen. Bezeichnet ferner den reellen Teil des Logarithmus von , so ist

.

Sind , …, ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich verschwinden, so stellt eine ganze von verschiedene Zahl des Körpers dar. Die Größen , …‚ sind dann eindeutig durch die Zahl bestimmt und sollen die Logarithmen zur Zahl heißen. Ist eine Einheit des Körpers , so besteht wegen die Gleichung

.

Die reellen Variabeln , …, sind umgekehrt durch die Werte der Logarithmen ‚ …‚ -deutig bestimmt, da durch letztere die reellen Werte , …, nur bis auf das Vorzeichen, dagegen die übrigen konjugiert imaginären Wertepaare , …, vollständig bestimmt sind.

Um die später anzuwendende Funktionaldeterminante dieses Abhängigkeitsverhältnisses zu berechnen, bezeichnen wir, wenn , …‚ beliebige Funktionen der Variabeln , …‚ sind, die Funktionaldeterminante der

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 103. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/120&oldid=- (Version vom 31.7.2018)