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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

Andererseits folgt leicht die Tatsache:

Satz 43. Wenn der Grad $m$ und eine beliebige positive Konstante $\varkappa$ gegeben ist, so existiert nur eine endliche Anzahl von ganzen algebraischen Zahlen $m$-ten Grades, die nebst allen ihren Konjugierten, absolut genommen, $<\varkappa$ sind.

Beweis: Die $m$ ganzzahligen Koeffizienten der Gleichung, der eine solche ganze Zahl genügt, müssen absolut sämtlich unterhalb einer nur von $m$ und $\varkappa$ abhängigen Grenze liegen; sie sind daher ihrer Anzahl nach beschränkt.

§ 18. Sätze über die absolute Größe der Körperdiskriminante.

Wir beweisen die beiden folgenden Sätze:

Satz 44. Die Diskriminante $d$ eines Zahlkörpers $k$ ist stets verschieden von $\pm 1$ [Minkowski (1^[1], 2^[2], 3^[3])].

Satz 45. Es gibt nur eine endliche Anzahl von Körpern $m$-ten Grades mit gegebener Diskriminante $d$ [Hermite (1^[4], 2^[5]), Minkowski (3^[3])].

Zum Beweise dieser Sätze dient der folgende Hilfssatz:

Hilfssatz 8. Wenn $f_{1}$, …, $f_{m}$ die in Formel (8) definierten $m$ reellen Linearformen der Unbestimmten $u_{1}$ ‚ …, $u_{m}$ bedeuten, so existiert im Körper $k$ stets eine solche von $0$ verschiedene ganze Zahl $\alpha =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$, für welche die absoluten Beträge dieser Formen für $u_{1}=a_{1}$, …, $u_{m}=a_{m}$ den Bedingungen

$|f_{1}|\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$, $|f_{2}|<1$, $|f_{3}|<1$, …, $|f_{m}|<1$

(9)

genügen.

Beweis: Nach Satz 43 kann es nur eine endliche Anzahl von ganzen Zahlen $\alpha$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, … im Körper $k$ geben, welche die Bedingungen

$|f_{1}|<\left|{\sqrt {d}}\right|+1$, $|f_{2}|<1$, …, $|f_{m}|<1$

erfüllen. Diejenige unter diesen Zahlen $\alpha$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, für welche $|f_{1}|$ den kleinsten Wert besitzt, sei $\alpha$, und dieser kleinste Wert selbst werde mit $\varphi$ bezeichnet. Sollte es keine solche Zahl $\alpha$ geben, so setze man $\varphi =\left|{\sqrt {d}}\right|+1$. Fällt nun $\varphi \leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ aus, so ist die Richtigkeit des Hilfssatzes 8 offenbar. Im anderen Falle bestimmen wir eine positive Zahl $\varepsilon$ derart, daß $(1+\varepsilon )^{m-1}\left|{\sqrt {d}}\right|<\varphi$ wird. Nach Hilfssatz 7 gibt es dann stets ein System ganzer rationaler Zahlen $u_{1}$, …, $u_{m}$, die nicht sämtlich Null sind, von der Art, daß

$|f_{1}|\leqq (1+\varepsilon )^{m-1}\left|{\sqrt {d}}\right|$, $|f_{2}|\leqq {\frac {1}{1+\varepsilon }}$, …, $|f_{m}|\leqq {\frac {1}{1+\varepsilon }}$

und folglich

$|f_{1}|<\varphi$,  $|f_{2}|<1$, …,  $|f_{m}|<1$

wird; dies steht mit der von uns getroffenen Wahl der Zahl $\alpha$ im Widerspruch.

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1. Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen. J. Math. 107 (1891).^{[WS 1]}
2. Théorèmes arithmétiques. Extrait d’une lettre à M. Hermite. Comptes rendus. 92 (1891).
3. Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.
4. Sur la théorie des formes quadratiques ternaires indéfinies. J. Math. 47 (1854).^{[WS 2]}
5. Extrait d’une lettre de M. Ch. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d’irrationalités aux quelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d’un degré et d’un discriminant donnés. J. Math. 53 (1857).^{[WS 3]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Minkowski, Hermann: Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 107 (1891), S. 278–297 GDZ Göttingen
2. Hermite, Charles^(WP): Sur la théorie des formes quadratiques ternaires, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 47 (1854), S. 173–177 GDZ Göttingen
3. Hermite, Charles^(WP): Extrait d’une lettre de M. C. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d’irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d’un degré et d’un discriminant donnés, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 53 (1857), S. S. 182–192 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 100. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/117&oldid=- (Version vom 31.7.2018)