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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

$m$ lineare homogene Formen von $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ mit beliebigen reellen Koeffizienten $a_{11},\ \ldots ,\ a_{mm}$ und der Determinante $1$, so kann man $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ stets als ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich $0$ sind, so bestimmen, daß die Werte jener $m$ Formen $f_{1},\ \ldots ,\ f_{m}$ absolut genommen, sämtlich $\leqq 1$ werden.

Dieser Satz erhält durch eine leichte Umformung die Gestalt:

Hilfssatz 7. Sind $f_{1},\ \ldots ,\ f_{m}\ m$ lineare homogene Formen von $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ mit beliebigen reellen Koeffizienten und der positiven Determinante $A$, und bedeuten $\varkappa _{1},\ \dots ,\ \varkappa _{m}$ beliebige positive Konstante, deren Produkt gleich A ist, so kann man $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ stets als ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich $0$ sind, so bestimmen, daß die absoluten Werte jener $m$ Formen den Bedingungen

$|f_{1}|\leqq \varkappa _{1},\ \ldots ,\ |f_{m}|\leqq \varkappa _{m}$

genügen.

Es sei bemerkt, daß in diesem Kapitel, abweichend von dem Früheren, der Körper $k$ und die $m-1$ zu $k$ konjugierten Körper bezüglich mit $k=k^{(1)},\ k^{(2)},\ \dots ,\ k^{(m)}$ und dem entsprechend allgemein die in $k^{(s)}$ liegenden, zu $\omega _{1},\ \ldots ,\ \omega _{m}$ konjugierten Basiszahlen mit $\omega _{1}^{(s)},\ \ldots ,\ \omega _{m}^{(s)}$ bezeichnet werden.

Den Hilfssatz 7 verwenden wir zum Beweise der folgenden Tatsache:

Satz 42. Sind $\varkappa _{1},\ \ldots ,\ \varkappa _{m}$ beliebige reelle positive Konstante, deren Produkt gleich $|{\sqrt {d}}|$ ist, und die den Bedingungen $\varkappa _{s}=\varkappa _{s'}$ genügen, falls $k^{(s)}$ und $k^{(s')}$ konjugiert imaginäre Körper sind, so gibt es im Körper $k$ immer eine ganze von $0$ verschiedene Zahl $\omega$ so, daß

$\left|\omega ^{(1)}\right|\leqq \varkappa _{1},\ \ldots ,\ \left|\omega ^{(m)}\right|\leqq \varkappa _{m}$

wird.

Beweis: Wir ordnen den Körpern $k^{(1)},\ \ldots ,\ k^{(m)}$ gewisse Linearformen zu, und zwar nach folgendem Gesichtspunkte: Ist $k^{(r)}$ ein reeller Körper, so ordnen wir demselben die Linearform

$f_{r}=\omega _{1}^{(r)}u_{1}+\cdots +\omega _{m}^{(r)}u_{m}$

zu; ist dagegen $k^{(s)}$ ein imaginärer Körper und $k^{(s')}$ der zu demselben konjugiert imaginäre Körper, so ordnen wir den beiden Körpern $k^{(s)}$ und $k^{(s')}$ die beiden Linearformen

$\left.{\begin{aligned}f_{s}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\left(\omega _{1}^{(s)}+\omega _{1}^{(s')}\right)u_{1}+\cdots +\left(\omega _{m}^{(s)}+\omega _{m}^{(s')}\right)u_{m}\right\},\\f_{s'}&={\frac {1}{i{\sqrt {2}}}}\left\{\left(\omega _{1}^{(s)}+\omega _{1}^{(s')}\right)u_{1}+\cdots +\left(\omega _{m}^{(s)}+\omega _{m}^{(s')}\right)u_{m}\right\}\end{aligned}}\right\}$

(8)

zu, deren Koeffizienten wiederum reell sind. Die Determinante der $m$ Formen $f_{1},\ \ldots ,\ f_{m}$ ist, absolut genommen, $=\left|{\sqrt {d}}\right|$. Der Hilfssatz 7 liefert dann unmittelbar die Behauptung, wenn man berücksichtigt, daß für die Paare imaginärer Körper

$f_{s}^{2}+f_{s'}^{2}=2\left|\omega _{1}^{(s)}u_{1}+\cdots +\omega _{m}^{(s)}u_{m}\right|^{2}$

ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 99. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/116&oldid=- (Version vom 31.7.2018)