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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.5

und $\alpha _{1}^{*}$, …, $\alpha _{s^{*}}^{*}$ ganze Zahlen in $k$ sind, so daß in $K$ die beiden Ideale ${\mathfrak {J}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ und ${\mathfrak {J}}^{*}=(\alpha _{1}^{*},\,\ldots ,\,\alpha _{s^{*}}^{*})$ miteinander übereinstimmen, so stimmen auch in $k$ die beiden Ideale ${\mathfrak {j}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ und ${\mathfrak {j}}^{*}=(\alpha _{1}^{*},\,\ldots ,\,\alpha _{s^{*}}^{*})$ miteinander überein. In der Tat, wegen der Voraussetzung gilt, wenn $\alpha ^{*}$ eine der Zahlen $\alpha _{1}^{*}$, …, $\alpha _{s^{*}}^{*}$ bedeutet, eine Gleichung von der Gestalt $\alpha ^{*}=A_{1}\alpha _{1}+\cdots +A_{s}\alpha _{s}$, wo $A_{1}$, …, $A_{s}$ gewisse ganze Zahlen in $K$ sind. Wenn wir nun von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, so erkennen wir, daß im Körper $k$ die Zahl $\alpha ^{*r}$ durch ${\mathfrak {j}}^{r}$ teilbar sein muß; infolgedessen ist in $k$ auch $\alpha ^{*}$ durch ${\mathfrak {j}}$ und daher auch ${\mathfrak {j}}^{*}$ durch ${\mathfrak {j}}$ teilbar. Da in gleicher Weise das Umgekehrte gezeigt werden kann, so haben wir notwendig in $k$ die Gleichung ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {j}}^{*}$.

Der Ausdruck

$\Delta _{k}(A)=(A-A')(A-A'')\cdots (A-A^{(r-1)})$

stellt eine Zahl des Körpers $K$ dar und heißt die Relativdifferente der Zahl $A$ in bezug auf den Körper $k$. Der Ausdruck

$D_{k}(A)=(A-A')^{2}(A-A'')^{2}\cdots (A^{(r-2)}-A^{(r-1)})^{2}$

heißt die Relativdiskriminante der Zahl $A$. Dieselbe ist bis auf das Vorzeichen gleich der Relativnorm der Relativdifferente von $A$; es ist nämlich $\textstyle D_{k}(A)=(-1)^{\frac {r(r-1)}{2}}N_{k}(\Delta _{k}(A))$.

Sind $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{M}$ die $M$ Basiszahlen des Körpers $K$, so heißt das durch Multiplikation der $r-1$ Elemente

${\begin{aligned}{\mathfrak {E}}'\quad \ &=\left(\left(\Omega _{1}-\Omega '_{1}\right),\quad \ \ldots ,\,\left(\Omega _{M}-\Omega '_{M}\right)\right),\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\{\mathfrak {E}}^{(r-1)}&=\left(\left(\Omega _{1}-\Omega _{1}^{(r-1)}\right),\,\ldots ,\,\left(\Omega _{M}-\Omega _{M}^{(r-1)}\right)\right)\end{aligned}}$

entstehende Ideal

${\mathfrak {D}}_{k}={\mathfrak {E'E''\cdots E}}^{(r-1)}$

die Relativdifferente des Körpers $K$ in bezug auf $k$. Bezeichnet

$\Xi =\Omega _{1}U_{1}+\cdots +\Omega _{M}U_{M}$

die Fundamentalform von $K$, so ist die Relativdifferente von $\Xi$

$\Delta _{k}(\Xi )=(\Xi -\Xi ')\cdots (\Xi -\Xi ^{(r-1)})$.

Die Koeffizienten dieser Form sind Zahlen des Körpers $K$, und da nach dem Satze 13 der größte gemeinsame Teiler derselben die Relativdifferente ${\mathfrak {D}}_{k}$ ergeben muß, so ist ${\mathfrak {D}}_{k}$ ein Ideal des Körpers $K$.

Das Quadrat des größten gemeinsamen Teilers aller $r$-reihigen Determinanten der Matrix

$\left|{\begin{array}{llll}\Omega _{1},&\Omega _{2},&\ldots ,&\Omega _{M}\\\Omega '_{1},&\Omega '_{2},&\ldots ,&\Omega '_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Omega _{1}^{(r-1)},&\Omega _{2}^{(r-1)},&\ldots ,&\Omega _{M}^{(r-1)}\end{array}}\right|$

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 94. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/111&oldid=- (Version vom 31.7.2018)