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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.5

wird. In der Tat, würde etwa $P(\alpha )$ nach Forthebung des Faktors ${\mathfrak {p}}$ noch einen in $p$ aufgehenden Primfaktor, z. B. ${\mathfrak {p}}'$, enthalten, so wäre

$\left\lbrace P(\alpha )\right\rbrace ^{e}\left\lbrace P'(\alpha )\right\rbrace ^{e'-1}\left\lbrace P''(\alpha )\right\rbrace ^{e''}\cdots \equiv 0$, $(p)$,

was nach obiger Bemerkung nicht der Fall sein kann, da die linke Seite dieser Kongruenz eine Funktion von niederem als $m$-tem Grade in $\alpha$ darstellt.

Umgekehrt gilt die leicht zu beweisende Tatsache: Wenn im Körper $k$ die Zerlegung $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {p}}'^{e'}$ … gilt, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, … voneinander verschiedene Primideale bezüglich von den Graden $f$, $f'$, … sind, und wenn man dann diesen Primidealen ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, … ebenso viele ganzzahlige Funktionen $P(x)$‚ $P'(x)$, … der einen Veränderlichen $x$ zuordnen kann, die im Sinne der Kongruenz nach $p$ Primfunktionen bez. von den Graden $f$, $f'$, … und untereinander verschieden sind, so läßt sich stets eine Zahl $\alpha =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$ finden, für welche der zugehörige Wert von $U$ nicht durch $p$ teilbar ist. Die Nichtexistenz solcher voneinander verschiedenen Primfunktionen $P(x)$, $P'(x)$, … im Sinne der Kongruenz nach der rationalen Primzahl $p$ bildet daher eine neue notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Primzahl $p$ als fester Zahlteiler in $U$ auftritt [Dedekind (4^[1])].

Jede der beiden in diesem Paragraphen gefundenen, wesentlich voneinander verschiedenen Bedingungen kann zur Berechnung numerischer Beispiele für Zahlkörper dienen, in deren $U$ wirklich feste Zahlteiler $\neq \pm 1$ der fraglichen Weise enthalten sind [Dedekind (4^[1]), Kronecker (16^[2]), Hensel (1^[3], 2^[4], 5^[5])].

Es ist jedoch zu bemerken, daß die Form $U$ die Eigenschaft, feste Zahlteiler zu enthalten, verliert, wenn man in derselben die Unbestimmten $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ alle ganzen algebraischen Zahlen eines geeignet gewählten Zahlkörpers durchlaufen läßt, indem die sämtlichen durch $U$ auf diese Art darstellbaren Zahlen den größten gemeinsamen Teiler $1$ erhalten [Hensel (5^[5])].

5. Der Relativkörper.

§ 14. Die Relativnorm, die Relativdifferente und die Relativdiskriminante.

Die Begriffe Norm, Differente und Diskriminante sind einer wichtigen Verallgemeinerung fähig.

Ist $K$ ein Körper vom Grade $M$, welcher sämtliche Zahlen des Körpers $k$ vom $m$-ten Grade enthält, so heißt $k$ ein Unterkörper von $K$. Der Körper $K$ wird der Oberkörper von $k$ oder der Relativkörper in bezug auf $k$ genannt. Es sei $\Theta$ eine den Körper $K$ bestimmende Zahl. Unter den unendlich vielen Gleichungen mit algebraischen, in $k$ liegenden Koeffizienten, denen die Zahl $\Theta$ genügt, habe die folgende Gleichung vom Grade $r$

$\Theta ^{r}+\alpha _{1}\Theta ^{r-1}+\cdots +\alpha _{r}=0$

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den niedrigsten Grad; $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ sind dann bestimmte Zahlen in $k$. Der Grad $r$

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1. Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Kongruenzen. Abh. K. Ges. Göttingen 1878.
2. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 1]}
3. Arithmetische Untersuchungen über Diskriminanten und ihre außerwesentlichen Teiler. Inaugural-Dissert. Berlin 1884.^{[WS 2]}
4. Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor. J. Math. 101 u. 103 (1887), (1888).^{[WS 3]}
5. Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen außerwesentlichen Diskriminantenteiler einer Gattung. J. Math. 113 (1894).^{[WS 4]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen
2. Hensel, Kurt: Arithmetische Untersuchungen über Discriminanten und ihre ausserwesentlichen Theiler, Inaugural-Dissertation, 34 S., Berlin: Schade 1884 GDZ Göttingen
3. Hensel, Kurt: Untersuchung der ganzen algebraischen Zahlen eines gegebenen Gattungsbereiches für einen beliebigen algebraischen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 101 (1887), S. 99-141 GDZ Göttingen
   und
   Hensel, Kurt: Ueber die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 103 (1888), S. 230-237 GDZ Göttingen
4. Hensel, Kurt: Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen ausserwesentlichen Discriminantentheiler einer Gattung, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 113 (1894), S. 130–160 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 92. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/109&oldid=- (Version vom 21.1.2022)