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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.4

wo $\Psi$ eine ganzzahlige Funktion bezeichnet. Da $\Pi$, $\Pi '$, … bezüglich von den Graden $f$, $f'$, … in $x$ sind, so folgt, daß $\Phi$ mindestens vom $m$-ten Grade in $x$ sein muß, und dieser Umstand liefert, wenn man an Stelle von $\Phi$ die linke Seite $F$ der Fundamentalgleichung wählt, den ersten Teil des Satzes 33 und den Satz 34.

Wäre endlich $G(x)$ nach $p$ etwa durch $\Pi (x)$ teilbar, so würde die Fundamentalform $\xi$, für $x$ eingesetzt, der Kongruenz $G(x)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ und folglich auch der Kongruenz $\Pi ^{e}(x)\Pi ^{\prime e'}(x)\cdots \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}^{e+1}$ genügen müssen, was nach Hilfssatz 5 nicht möglich ist. Damit ist auch der zweite Teil des Satzes 33 bewiesen.

Die gefundenen Tatsachen bedingen eine Reihe von wichtigen Diskriminantensätzen:

Satz 35. Der größte Zahlenfaktor der Diskriminante der Fundamentalgleichung ist gleich der Diskriminante des Körpers.

Beweis: Wir setzen

$\left.{\begin{aligned}1^{\color {White}m-1\color {Black}}&=U_{11}\omega _{1}+\cdots +U_{1m}\omega _{m},\\\xi ^{\color {White}m-1\color {Black}}&=U_{21}\omega _{1}+\cdots +U_{2m}\omega _{m},\\&\qquad \qquad \vdots \\\xi ^{m-1}&=U_{m1}\omega _{1}+\cdots +U_{mm}\omega _{m},\end{aligned}}\right\}$

(2)

wo $U_{11}$, …‚ $U_{mm}$ ganzzahlige Funktionen von $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ seien. Wäre nun die Determinante $U$ dieser $m^{2}$ Funktionen eine solche Funktion, deren sämtliche Koeffizienten etwa durch die rationale Primzahl $p$ teilbar sind, so gäbe es offenbar $m$ nicht sämtlich dem Werte $0$ nach $p$ kongruente ganzzahlige Funktionen $V_{1}$, …‚ $V_{m}$ von $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ der Art, daß identisch in $u_{1}$, …, $u_{m}$

${\begin{aligned}V_{1}U_{11}&+\cdots +V_{m}U_{m1}\equiv 0,\quad (p)\\&\qquad \qquad \vdots \\V_{1}U_{1m}&+\cdots +V_{m}U_{mm}\equiv 0,\quad (p)\\\end{aligned}}$

wird. Mithin müßte die Fundamentalform $\xi$ der Kongruenz

$V_{1}+V_{2}\xi +\cdots +V_{m}\xi ^{m-1}\equiv 0,\quad (p)$

genügen, welche von niederem als $m$-tem Grade ist. Da dies nach Satz 34 nicht statthaben kann, so folgt, daß die Determinante $U$ eine rationale Einheitsform ist.

Die Gleichungen (2) ergeben mit Hilfe des Multiplikationssatzes der Determinanten:

$\left|{\begin{matrix}1,&\xi ,&\ldots ,&\xi ^{m-1}\\1,&\xi ',&\ldots ,&\xi ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\xi ^{(m-1)},&\ldots ,&(\xi ^{(m-1)})^{m-1}\end{matrix}}\right|=U\left|{\begin{matrix}\omega _{1},&\ldots ,&\omega _{m}\\\omega '_{1},&\ldots ,&\omega '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\omega _{m}^{(m-1)}\end{matrix}}\right|\cdot$

Durch Quadrieren dieser Beziehung folgt $d(\xi )=U^{2}d$ oder $d(\xi )\simeq d$, wo $d(\xi )$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 89. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/106&oldid=- (Version vom 31.7.2018)