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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.4

der Funktion $P$ selbst oder dem Produkte aus $P$ in eine ganze rationale Zahl nach $p$ kongruent sind, so heißt die Funktion $P$ eine Primfunktion nach $p$. Wie in der Theorie der Funktionen einer Veränderlichen gelten auch hier die gewöhnlichen Gesetze der Teilbarkeit; insbesondere heben wir den durch das bekannte Euklidische Rekursionsverfahren leicht zu beweisenden Satz hervor:

Satz 32. Wenn zwei ganzzahlige Funktionen $X$ und $Y$ von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ nach der rationalen Primzahl $p$ keinen gemeinsamen Teiler haben, so gibt es eine ganzzahlige, nach $p$ nicht der $0$ kongruente Funktion $U$ von $u_{1}$, …, $u_{m}$ allein, so daß man

$U\equiv AX+BY$,     $(p)$

hat, wo $A$ und $B$ geeignete ganzzahlige Funktionen von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ sind.

Unser nächstes Ziel ist die Zerlegung der linken Seite $F$ der Fundamentalgleichung in Primfunktionen nach der rationalen Primzahl $p$. Wir beweisen zunächst folgende Hilfssätze:

Hilfssatz 3. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein in $p$ aufgehendes Primideal $f$-ten Grades bezeichnet, so gibt es stets nach $p$ eine Primfunktion $\textstyle \prod (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ vom $f$-ten Grade in $x$, welche, wenn man an Stelle von $x$ die Fundamentalform $\xi$ setzt, folgende Eigenschaften besitzt: die Koeffizienten der Potenzen und Produkte von $u_{1}$, …, $u_{m}$ in der Funktion $\textstyle \prod (\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ sind durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht sämtlich durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ und auch nicht sämtlich durch ein von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes, in $p$ aufgehendes Primideal teilbar.

Beweis: Es sei $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {a}}$, wo das Ideal ${\mathfrak {a}}$ nicht mehr durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist. Ferner sei $\varrho$ eine solche Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$, welche die in den Sätzen 29 und 30 angegebenen Eigenschaften besitzt. $P(\varrho )$ sei eine wie dort bestimmte, zu ${\mathfrak {p}}$ gehörige ganzzahlige Funktion $f$-ten Grades von der Art, daß ${\mathfrak {p}}=(p,\,P(\varrho ))$ ist. $P(x)$ ist Primfunktion nach $p$, weil sonst $\varrho$ einer Kongruenz niederen als $f$-ten Grades nach ${\mathfrak {p}}$ genügen würde. Wir setzen

$\varrho =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$,

wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganz rationale Zahlen sind, und nehmen den Koeffizienten von $\varrho ^{f}$ in $P(\varrho )$ gleich $1$ an. Da $P(\varrho )\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, so folgt nach Satz 27, daß auch $P(\varrho ^{p})\equiv 0$, $P(\varrho ^{p^{2}})\equiv 0$, …, $P(\varrho ^{p^{f-1}})\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, d. h. die Kongruenz $P(x)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ besitzt die $f$ einander inkongruenten Wurzeln $\varrho$, $\varrho ^{p}$, …, $\varrho ^{p^{f-1}}$, und es ist mithin identisch in $x$

$P(x)\equiv (x-\varrho )(x-\varrho ^{p})\ldots (x-\varrho ^{p^{f-1}})$,     $({\mathfrak {p}})$

d. h. die elementarsymmetrischen Funktionen von $\varrho$, $\varrho ^{p}$, …, $\varrho ^{p^{f-1}}$ sind sämtlich nach ${\mathfrak {p}}$ gewissen ganzen rationalen Zahlen kongruent.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 86. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/103&oldid=- (Version vom 31.7.2018)