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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.4

jede ganze Zahl des Körpers einem Ausdruck von der obigen Gestalt kongruent sein muß, so folgt $f'=f$.

In dem Fall, daß $P(\varrho ^{\ast })\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}^{2}$ ist, setze man $\varrho =\varrho ^{\ast }+\pi$, wo $\pi$ eine durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbare Zahl ist. Es ist dann, da nach Satz 27 ${\frac {dP\left(\varrho ^{\ast }\right)}{d\varrho ^{\ast }}}\equiv \left(\varrho ^{\ast }-\varrho ^{\ast p}\right)\cdots \left(\varrho ^{\ast }-\varrho ^{\ast p^{f-1}}\right)\not \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, notwendig

$P(\varrho )=P\left(\varrho ^{\ast }+\pi \right)\equiv P\left(\varrho ^{\ast }\right)+\pi {\frac {dP\left(\varrho ^{\ast }\right)}{d\varrho ^{\ast }}}\not \equiv 0,\quad \left({\mathfrak {p}}^{2}\right)$.

Die Zahl $\varrho$ ist eine Zahl von der verlangten Beschaffenheit. Durchlaufen nämlich $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …‚ $\alpha _{l}$ alle Ausdrücke von der Gestalt $a_{1}+a_{2}\varrho +\cdots +a_{f}\varrho ^{f-1}$‚ wo $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{f}$ Zahlen aus der Reihe $0$, $1$, …, $p-1$ bedeuten, so stellt, wie leicht ersichtlich, die Summe

$\alpha _{1}+\alpha _{2}P(\varrho )+\cdots +\alpha _{l}\left\lbrace P(\varrho )\right\rbrace ^{l-1}$

lauter nach ${\mathfrak {p}}^{l}$ einander inkongruente ganze Zahlen dar, und da hier $p^{fl}$ Zahlen vorliegen, so sind damit sämtliche nach ${\mathfrak {p}}^{l}$ inkongruenten Reste erschöpft. Offenbar kommt die gleiche Eigenschaft auch jeder Zahl zu, welche der Zahl $\varrho$ nach ${\mathfrak {p}}^{2}$ kongruent ist.

Den letzteren Umstand benutzen wir zu der folgenden Darstellung des Ideals ${\mathfrak {p}}$:

Satz 30. Wenn ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ vom $f$-ten Grade vorgelegt ist, so gibt es im Körper $k$ stets eine ganze Zahl $\varrho$ von der im Satze 29 verlangten Eigenschaft und überdies von der Art, daß man

${\mathfrak {p}}=\left(p,P(\varrho )\right)$

hat, wo $P(\varrho )$ eine ganze Funktion $f$-ten Grades von $\varrho$ mit ganzen rationalen Koeffizienten ist.

Beweis: Es sei $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {a}}$, wo das Ideal ${\mathfrak {a}}$ nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist. Ferner sei $\alpha$ eine nicht durch ${\mathfrak {p}}$, wohl aber durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare ganze Zahl. Nach Satz 24 ist $\alpha ^{p^{f}\left(p^{f}-1\right)}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}^{2}$. Ersetzen wir nun die im vorigen Beweise gefundene Zahl $\varrho$ durch $\varrho \alpha ^{p^{f}\left(p^{f}-1\right)}$‚ so behält diese neue Zahl $\varrho$ die frühere Eigenschaft; da ferner der letzte Koeffizient der Funktion $P(\varrho )$ nicht durch $p$ teilbar sein kann, so ist für die neue Zahl $\varrho$ notwendig $P(\varrho )$ prim zu ${\mathfrak {a}}$, d. h. ${\mathfrak {p}}=(p,P(\varrho ))$.

4. Die Diskriminante des Körpers und ihre Teiler.

§ 10. Der Satz über die Teiler der Diskriminante des Körpers. Hilfssätze über ganze Funktionen.

Die Diskriminante des Körpers $k$ ist, wenn $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ eine Basis von $k$ bedeutet, definiert durch die Gleichung

$d=\left|{\begin{aligned}&\omega _{1},&&\ldots ,\ \omega _{m}\\&\omega '_{1},&&\ldots ,\ \omega '_{m}\\&&&\vdots \\&\omega _{1}^{(m-1)},&&\ldots ,\ \omega _{m}^{(m-1)}\end{aligned}}\right|^{2}$;

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 84. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/101&oldid=- (Version vom 31.7.2018)