Seite:Cohn Gleichungen elektromagnetischen Feldes bewegte Körper 1901.pdf/24

	Emil Cohn: Ueber die Gleichungen des elektromagnetischen Feldes für bewegte Körper

wo

${\begin{aligned}T&={\mathsf {[EM]}}+{\bigl [}{\mathsf {E}}[u{\mathfrak {E}}]{\bigr ]}+{\bigl [}{\mathsf {M}}[u{\mathfrak {M}}]{\bigr ]}\\f_{1}&=-{\bigl [}{\mathfrak {E}}\cdot {\mathsf {P}}[u{\mathfrak {M}}]{\bigr ]}+{\bigl [}{\mathfrak {M}}\cdot {\mathsf {P}}[u{\mathfrak {E}}]{\bigr ]}\\w&={\tfrac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})+\varepsilon _{0}\mu _{0}u\cdot {\mathsf {[EM]}}.\end{aligned}}$

(33)

Den Ausdruck für $T$ müssen wir umformen. Es ist nach (e):

${\begin{aligned}{\bigl [}{\mathsf {E}}[u{\mathfrak {E}}]{\bigr ]}+{\bigl [}{\mathsf {M}}[u{\mathfrak {M}}]{\bigr ]}&=({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})u-(u\cdot {\mathsf {E}}){\mathfrak {E}}-(u\cdot {\mathsf {M}}){\mathfrak {M}}\\&=({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})u-(u\cdot {\mathsf {E}})\varepsilon {\mathsf {E}}-(u\cdot {\mathsf {M}})\mu {\mathsf {M}}\\&\qquad -\varepsilon _{0}\mu _{0}\{-(u\cdot {\mathsf {E}})[u{\mathsf {M}}]+(u\cdot {\mathsf {M}})[u{\mathsf {E}}]\}.\end{aligned}}$

Aber

${\begin{aligned}\{\quad \}&=[u\{{\mathsf {E}}(u\cdot {\mathsf {M}})-{\mathsf {M}}(u\cdot {\mathsf {E}})\}]={\Bigl [}u{\bigl [}u{\mathsf {[EM]}}{\bigr ]}{\Bigr ]}\\&=(u\cdot {\mathsf {[EM]}})u-u^{2}{\mathsf {[EM]}}.\end{aligned}}$

und

${\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}}=\varepsilon {\mathsf {E}}^{2}+\mu {\mathsf {M}}^{2}+2\varepsilon _{0}\mu _{0}u\cdot {\mathsf {[EM]}}$.

Also

$T=(1+\varepsilon _{0}\mu _{0}u^{2}){\mathsf {[EM]}}+{\tfrac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})u+{\tfrac {1}{2}}(\varepsilon {\mathsf {E}}^{2}+\mu {\mathsf {M}}^{2})u-(u\cdot {\mathsf {E}})\varepsilon {\mathsf {E}}-(u\cdot {\mathsf {M}})\mu {\mathsf {M}}.$

Wir können daher (32) in folgender Form schreiben:

$\left.{\begin{aligned}-{\mathsf {\Gamma }}({\mathsf {\Sigma }}+w_{1}u)-{\mathsf {\Gamma }}(Y)={\frac {\partial w}{\partial t}}+{\mathsf {E\cdot \Lambda }}+u\cdot (f_{0}+f_{1})\\{\text{oder}}\\\int ({\mathsf {\Sigma }}_{n}+w_{1}u_{n})dS+\int Y_{n}dS={\frac {\partial }{\partial t}}\int w\ d\tau +\int {\mathsf {E\cdot \Lambda }}\,d\tau +\int u\cdot (f_{0}+f_{1})d\tau ,\end{aligned}}\right\}$

(34)

wo $S$ die Oberfläche von $\tau$, $n$ die innere Normale von $dS$,

${\mathsf {\Sigma }}=(1+\varepsilon _{0}\mu _{0}u^{2}){\mathsf {[EM]}}$

(35)

$\left.{\begin{aligned}w_{1}&={\tfrac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})\\w&={\tfrac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})+\varepsilon _{0}\mu _{0}u\cdot {\mathsf {[EM]}}\end{aligned}}\right\}$

(36)

$Y_{n}={\tfrac {1}{2}}(\varepsilon {\mathsf {E}}^{2}+\mu {\mathsf {M}}^{2})u_{n}-(u\cdot {\mathsf {E}})\varepsilon {\mathsf {E}}_{n}-(u\cdot {\mathsf {M}})\mu {\mathsf {M}}_{n}$

(37)

oder

$\left.{\begin{aligned}Y^{n}&=-u\cdot \pi ^{n},{\text{wo }}\pi ^{n}{\text{ ein Vector mit den Componenten }}\pi _{x}^{n},\pi _{y}^{n},\pi _{z}^{n};\\\pi _{x}^{n}&=\pi _{x}^{x}\cos(nx)+\pi _{x}^{y}\cos(ny)+\pi _{x}^{z}\cos(nz);\\\pi _{x}^{x}&=-{\tfrac {1}{2}}(\varepsilon {\mathsf {E}}^{2}+\mu {\mathsf {M}}^{2})+\varepsilon {\mathsf {E}}_{x}{\mathsf {E}}_{x}+\mu {\mathsf {M}}_{x}{\mathsf {M}}_{x}\\\pi _{x}^{y}&=\pi _{y}^{x}=\varepsilon {\mathsf {E}}_{x}{\mathsf {E}}_{y}\mu {\mathsf {M}}+{}_{x}{\mathsf {M}}_{y}\ {\text{etc.}}\end{aligned}}\right\}$

(37′)

$f_{0}$ und $f_{1}$ aus (30) und (33).

Empfohlene Zitierweise:
Emil Cohn: Ueber die Gleichungen des elektromagnetischen Feldes für bewegte Körper. Dieterich (in Kommission), Göttingen 1902, Seite 97. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Cohn_Gleichungen_elektromagnetischen_Feldes_bewegte_K%C3%B6rper_1901.pdf/24&oldid=- (Version vom 16.10.2019)