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	Emil Cohn: Ueber die Gleichungen des elektromagnetischen Feldes für bewegte Körper

Andererseits haben wir aus (A):

$W=\int _{\infty }w\ d\tau$,

wo

$w={\tfrac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})+\varepsilon _{0}\mu _{0}(p+v)\cdot {\mathsf {[EM]}}$,

oder nach (C₁) auch

$w={\tfrac {1}{2}}(\varepsilon {\mathsf {E}}^{2}+\mu {\mathsf {M}}^{2})+2\varepsilon _{0}\mu _{0}(p+v)\cdot {\mathsf {[EM]}}$,

(24)

Wir bilden ${\frac {\delta w}{\delta t}}$, und beachten dabei, daß die Werthe von $\varepsilon$ und $\mu$ an der bewegten Materie haften, daß also

${\frac {\delta \varepsilon }{\delta t}}=-v\cdot \nabla \varepsilon ,\qquad {\frac {\delta \mu }{\delta t}}=-v\cdot \nabla \mu$

ist. So ergiebt sich aus (24):

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\delta w}{\delta t}}={\mathsf {E}}\cdot {\frac {\delta (\varepsilon {\mathsf {E}})}{\delta t}}+{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {E}}^{2}v\cdot \nabla \varepsilon +{\mathsf {M}}\cdot {\frac {\delta (\mu {\mathsf {M}})}{\delta t}}+{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}v\cdot \nabla \mu \\+2\varepsilon _{0}\mu _{0}(p+v)\cdot {\frac {\delta {\mathsf {[EM]}}}{\delta t}}+2\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\delta (p+v)}{\delta t}}\cdot {\mathsf {[EM]}}\end{aligned}}\right\}$

(25)

Aus (23) und (25) folgt:

$-{\mathsf {\Gamma }}{\bigl [}({\mathsf {E}}-[v{\mathfrak {M}}])({\mathsf {M}}+[v{\mathfrak {E}}]){\bigr ]}={\frac {\delta w}{\delta t}}+{\mathsf {E\cdot \Lambda }}-p\cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\delta {\mathsf {[EM]}}}{\delta t}}+v\cdot f$,

(26)

wo

$\left.{\begin{aligned}f={\mathsf {\Gamma }}({\mathfrak {E}}){\mathsf {E}}-{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {E}}^{2}\nabla \varepsilon +{\mathsf {\Gamma }}({\mathfrak {M}}){\mathsf {M}}-{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}\nabla \mu +[{\mathsf {\Lambda }}{\mathfrak {M}}]\\+{\frac {\delta }{\delta t}}\{[{\mathfrak {EM}}]-\varepsilon _{0}\mu _{0}{\mathsf {[EM]}}\}+[{\mathsf {\Gamma }}({\mathfrak {E}})v\cdot {\mathfrak {M}}]-[{\mathsf {\Gamma }}({\mathfrak {M}})v\cdot {\mathfrak {E}}].\end{aligned}}\right\}$

(27)

Wir multipliciren die Gleichung (26) mit $d\tau$ und integriren über das ganze Feld. Dann bildet sich links ein Oberflächen-Integral, dessen Integrand überall Null ist. Rechts entsteht aus dem ersten Glied: ${\frac {\delta W}{\delta t}}={\frac {\partial W}{\partial t}}$. Also:

$-{\frac {\partial W}{\partial t}}=\int _{\infty }{\mathsf {E\cdot \Lambda }}d\tau -p\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\infty }\varepsilon _{0}\mu _{0}{\mathsf {[EM]}}d\tau +\int _{\infty }v\cdot f\ d\tau$.

(28)

Zunächst fassen wir die Partialgeschwindigkeiten gemäß (22) in eine zusammen, indem wir $p=0$, $v=u$ setzen. Wir erhalten so:

$-{\frac {\partial W}{\partial t}}=\int _{\infty }{\mathsf {E\cdot \Lambda }}d\tau +\int _{\infty }u\cdot f_{0}\ d\tau$,

(29)

Empfohlene Zitierweise:
Emil Cohn: Ueber die Gleichungen des elektromagnetischen Feldes für bewegte Körper. Dieterich (in Kommission), Göttingen 1902, Seite 93. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Cohn_Gleichungen_elektromagnetischen_Feldes_bewegte_K%C3%B6rper_1901.pdf/20&oldid=- (Version vom 15.10.2019)