Schwere, Elektricität und Magnetismus:316

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 302
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Sechster Abschnitt. §. 90.

 Hiernach sind $x,\,y,\,z,\,q$ und $i\,$ Functionen von $s\,$, und es sind $x',\,y',\,z',\,q'$, und $i'\,$ Functionen von $s'\,$. Für constante lineäre Ströme gilt der §. 61. Es ist also

$q\,i=J,\quad q'\,i'=J',$

und hier sind $J\,$ und $J'\,$ constant.

 Im vorliegenden Falle ist $dS=dq\,ds\,$ und $dS'=dq'\,ds'\,$. Folglich lautet jetzt die Gleichung (8) des vorigen Paragraphen

$P=\iiiint {\frac {1}{r}}dqds\cdot dq'ds'\cdot i\cdot i'\cdot \cos(ii'),$

oder kürzer

(1)	$P=JJ'\iint {\frac {dsds'}{r}}\cos(ii').$

Der Winkel $(ii')\,$ ist derselbe, wie der Winkel, welchen die Bogenelemente $ds\,$ und $ds'\,$ mit einander einschliessen. Folglich haben wir

(2)	$\cos(i\,i')={\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {\partial x'}{\partial s'}}+{\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial y'}{\partial s'}}+{\frac {\partial z}{\partial s}}{\frac {\partial z'}{\partial s'}}.$

Ferner ist zu beachten, dass

$r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2};\,$

daraus findet sich

(3)

${\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}={\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}}=-\left({\frac {\partial x}{\partial s}}\,{\frac {\partial x'}{\partial s'}}+{\frac {\partial y}{\partial s}}\,{\frac {\partial y'}{\partial s'}}+{\frac {\partial z}{\partial s}}\,{\frac {\partial z'}{\partial s'}}\right).$

Gibt man hierauf Acht, so lässt sich statt der Gleichung (1) auch schreiben:

(4)	$P=-JJ'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}\cdot {\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}},$

oder, was auf dasselbe hinauskommt:

(5)	$P=-{\frac {1}{2}}JJ'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial ^{2}\,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}.$

Den Ausdruck (4) kann man transformiren. Die unbestimmte Integration nach Theilen gibt