Schwere, Elektricität und Magnetismus:303

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 289
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Aufgabe des §. 81 für einen mehrfach zusammenhangenden Körper.

sein für jeden Punkt der Oberfläche dos $q\,$fach zusammenhangenden Körpers. Dabei ist mit $n\,$ die nach innen gezogene Normale dieses Punktes gemeint. Es soll

(4)	$(v_{\mu })_{+0}-(v_{\mu })_{+0}=1\,$

sein für je zwei Punkte, die einander unendlich nahe auf entgegengesetzten Seiten des Querschnittes $Q_{\mu }\,$ liegen. Es soll endlich für denselben Querschnitt

(5)	$\left({\frac {\partial v_{\mu }}{\partial P}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial v_{\mu }}{\partial P}}\right)_{-0}$

sein, wenn wir mit $P\,$ eine Strecke bezeichnen, die von einem Punkte des Querschnittes $Q_{\mu }\,$ aus auf der Normale abgetragen ist, positiv nach der einen, negativ nach der andern Seite.

 Im Uebrigen soll die Function $v_{\mu }\,$ nebst ihren Derivirten überall endlich und stetig variabel sein innerhalb des ganzen $q\,$fach zusammenhangenden Raumes, in welchen der gegebene $(q+1)\,$fach zusammenhangende Körper durch den Querschnitt $Q_{\mu }\,$ verwandelt wird.

 Diese Aufgabe ist im §. 60 gelöst. Man braucht nur die dort vorkommende Grösse $k\,$ zu beiden Seiten des Querschnittes $Q_{\mu }\,$ und durch den ganzen Körper hindurch constant zu nehmen. Es ist ferner bewiesen, dass die Aufgabe nur eine Lösung zulässt. Nimmt man jetzt der Reihe nach $\mu =l,2,\ldots q\,$, so erhält man $q\,$ verschiedene Functionen

$v_{1},v_{2},v_{3},\ldots v_{q},\,$

bei denen die Gleichungen (2), (3), (4), (5) erfüllt sind. Die in (4) vorgeschriebene Unstetigkeit tritt für jede Function nur an einem der Querschnitte $Q_{1},Q_{2},Q_{3},\ldots Q_{q}\,$ ein und für jede an einem besondern.

 Wir setzen nun

(6)	$V''=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\ldots +c_{q}v_{q}\,$

im Innern des gegebenen Körpers. Da die im äusseren Raume gegebene Function $V\;$ bei der Herstellung von $V'\;$ nach §. 81 ihren Einfluss (wenn man sich so ausdrücken darf) bereits völlig geltend gemacht hat, so muss jetzt nothwendig für den äusseren Raum

(7)

$V''=0\;$

genommen werden. Dann genügt die Function