Schwere, Elektricität und Magnetismus:303

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 289
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Aufgabe des §. 81 für einen mehrfach zusammenhangenden Körper.


sein für jeden Punkt der Oberfläche dos fach zusammenhangenden Körpers. Dabei ist mit die nach innen gezogene Normale dieses Punktes gemeint. Es soll


(4)


sein für je zwei Punkte, die einander unendlich nahe auf entgegengesetzten Seiten des Querschnittes liegen. Es soll endlich für denselben Querschnitt


(5)


sein, wenn wir mit eine Strecke bezeichnen, die von einem Punkte des Querschnittes aus auf der Normale abgetragen ist, positiv nach der einen, negativ nach der andern Seite.

 Im Uebrigen soll die Function nebst ihren Derivirten überall endlich und stetig variabel sein innerhalb des ganzen fach zusammenhangenden Raumes, in welchen der gegebene fach zusammenhangende Körper durch den Querschnitt verwandelt wird.

 Diese Aufgabe ist im §. 60 gelöst. Man braucht nur die dort vorkommende Grösse zu beiden Seiten des Querschnittes und durch den ganzen Körper hindurch constant zu nehmen. Es ist ferner bewiesen, dass die Aufgabe nur eine Lösung zulässt. Nimmt man jetzt der Reihe nach , so erhält man verschiedene Functionen



bei denen die Gleichungen (2), (3), (4), (5) erfüllt sind. Die in (4) vorgeschriebene Unstetigkeit tritt für jede Function nur an einem der Querschnitte ein und für jede an einem besondern.

 Wir setzen nun


(6)


im Innern des gegebenen Körpers. Da die im äusseren Raume gegebene Function bei der Herstellung von nach §. 81 ihren Einfluss (wenn man sich so ausdrücken darf) bereits völlig geltend gemacht hat, so muss jetzt nothwendig für den äusseren Raum


(7)


genommen werden. Dann genügt die Function