Schwere, Elektricität und Magnetismus:292

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 278
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Sechster Abschnitt. §. 81.

keine zwei in constantem Verhältniss zu einander stehen. Diese Beschränkung wird eingeführt durch die Nebenbedingung, dass das Oberflächen-Integral

(6)	$\int uNd\sigma =A\,$

sein soll. Unter $A\,$ verstehen wir eine von Null verschiedene Constante, deren Grösse vorläufig unbestimmt bleiben möge.

 Bezeichnen wir eine von den unendlich vielen Functionen u \, mit v \,, so lässt jede andere sich in die Form bringen

$u=v+hs,\,$

wenn $h\,$ eine passend zu wählende Constante bedeutet und $s\,$ eine Function, die im Innern des Körpers an dieselbe Bedingung geknüpft ist wie die Functionen $u\,$, mit der aus (6) hervorgehenden Nebenbedingung, dass das Oberflächen-Integral

(7)	$\int sNd\sigma =0.\,$

Da die Werthe von $\Omega (u)\,$ endlich und positiv sind, so gibt es unter den Integralen (5), bei denen die Nebenbedingung (6) erfüllt ist, mindestens ein Minimum. Wir bezeichnen mit $v\,$ die Function, welche dieses Minimum zu Stande bringt. Dann lässt sich jede andere Function $u\,$ in die Form bringen

$u=v+hs,\,$

und wenn man nun $h\,$ unendlich klein annimmt, so lautet die Bedingung des Minimum

(8)	$\Omega (v)\leqq \Omega (v+hs).$

Das Integral $\Omega (v+hs)\,$ lässt sich in derselben Weise entwickeln wie in §. 34. Wir erhalten

(9)	$Q(v+hs)\,$ $=\Omega (v)+2h\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz$ $+h^{2}\Omega (s).\,$

Auf der rechten Seite dieser Gleichung wollen wir den zweiten Bestandteil nach §. 20 transformiren. Es findet sich

(10)

$\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz$ $=-\int s\,{\frac {\partial v}{\partial n}}\,d\sigma -\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.$