Schwere, Elektricität und Magnetismus:275

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 261
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Geometrische Bedeutung des Ausdruckes für $V\,$.

 Die Projection von $d\sigma \!$ auf einer um $(x',\,y',\,z')$ beschriebenen Kugel vom Radius $r\!$ berechnet sich

$=\pm \,d\sigma \,{\frac {\partial r}{\partial p}},\,$

und es gilt das obere oder das untere Vorzeichen, je nachdem ${\frac {\partial r}{\partial p}}$ positiv oder negativ ist. Soll die Projection $d\Sigma \!$ auf der Kugel vom Radius 1 ausgedrückt werden, so hat man noch durch $r^{2}\!$ zu dividiren, also

(1)	$d\Sigma =\pm \,{\frac {1}{r^{2}}}\,{\frac {\partial r}{\partial p}}\,d\sigma =\mp \,d\sigma \,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}.\,$

 Wir bezeichnen mit $\Sigma \!$ den Flächeninhalt der auf der Kugel vom Radius 1 liegenden Projection von $S\!$, und zwar in dem Sinne, dass $\Sigma \!$ eine absolute Zahl ist. Alsdann ergibt sich aus (1) durch Integration

(2)	$\int d\sigma \,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}=\mp \,\Sigma ,\,$

und es gilt das positive oder das negative Vorzeichen, je nachdem die Fläche $S\!$ dem Punkte $(x',\,y',\,z')$ ihre positive oder ihre negative Seite zukehrt.

 Nun ist noch auf das Vorzeichen von $J\!$ Acht zu geben. Wenn die Fläche $S\!$ dem Punkte $(x',\,y',\,z')$ ihre positive Seite zukehrt, so ist $J\!$ positiv oder negativ, je nachdem — von dem Punkte aus gesehen — der positive Strom in derselben Richtung fliesst, in welcher der Uhrzeiger weiterrückt, oder in der entgegengesetzten Richtung. Kehrt die Fläche $S\!$ dem Punkte $(x',\,y',\,z')$ ihre negative Seite zu, so gilt für $J\!$ die umgekehrte Vorzeichenregel. Dies lässt sich auch noch anders ausdrücken, nemlich: Das Vorzeichen von $J\!$ ist dasselbe wie auf der rechten Seite der Gleichung (2), wenn — vom Punkte $(x',\,y',\,z')$ aus gesehen — die Richtung des positiven Stromes mit der Drehungsrichtung des Uhrzeigers übereinstimmt. Und das Vorzeichen von $J\!$ ist das entgegengesetzte von dem auf der rechten Seite der Gleichung (2), wenn — vom Punkte $(x',\,y',\,z')$ aus gesehen — die Richtung des positiven Stromes der Drehungsrichtung des Uhrzeigers entgegengesetzt ist. Das Product

$J\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}\,d\sigma$