Schwere, Elektricität und Magnetismus:254

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 240
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Fünfter Abschnitt. §. 62.

und an jeder Stelle der isolirten freien Oberfläche:

(4)	$i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial n}}=0.$

Folglich bleibt auf der rechten Seite der Gleichung (2) nur noch das Oberflächen-Integral, erstreckt über beide Seiten jeder Unstetigkeitsfläche, übrig:

(5)	${\frac {dA}{dt}}=\int d\sigma \,V\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial n}}\right).$

Wir nehmen in irgend einer Unstetigkeitsfläche ein Flächenelement $d\sigma \!$, errichten in einem Punkte desselben die Normale nach beiden Seiten und zählen auf ihr von dem Fusspunkte aus den Abstand $p\!$ positiv nach der einen, negativ nach der anderen Seite. Dann ist auf der Seite der positiven Normale $n=p\!$ und auf der Seite der negativen Normale $n=-p\!$. Folglich lässt sich statt der Gleichung (5) auch schreiben:

(6)

${\frac {dA}{dt}}=-\int d\sigma \ \cdot \left\lbrace {\begin{matrix}&\left\lbrack V\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)\right\rbrack _{p=+0}\\-&\left\lbrack V\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)\right\rbrack _{p=-0}\end{matrix}}\right\rbrace .$

Hier ist die Integration über jede Unstetigkeitsfläche nur einmal zu erstrecken. Nehmen wir aber Rücksicht auf die Gleichung (3) des §. 57, so ergibt sich sofort:

${\begin{aligned}&\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)_{p=-0}\\\,\\=&\left(i_{1}{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)_{p=+0}\\\end{aligned}}$

und danach erhält man statt (6) einfacher:

(7)	${\frac {dA}{dt}}=\int d\sigma \ (V_{+0}-V_{-0})\left(i_{1}{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}{\frac {\partial z}{\partial p}}\right).$

Auch hier ist die Integration über jede Unstetigkeitsfläche nur einmal zu erstrecken. Setzen wir nun speciell voraus, dass in allen Punkten einer und derselben Unstetigkeitsfläche die Resultirende der elektromotorischen Kräfte $\varepsilon \,\Xi ,\,\varepsilon \,\mathrm {H} ,\,\varepsilon \,\mathrm {Z}$ constant und normal zur Fläche gerichtet sei, so ist für jede einzelne dieser Flächen die Spannungsdifferenz

$V_{+0}-V_{-0}={\text{const.}},\,$