Schwere, Elektricität und Magnetismus:243

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 229
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Eindeutige Existenz von $V\,$.

nur unendlich wenig verschieden sind. Das Oberflächen-Integral, welches über die beiden Hüllen einer Unstetigkeitsfläche erstreckt werden soll, ist demnach so zu schreiben:

$-\int d\sigma \cdot s\cdot \left\lbrace {\begin{matrix}&\left\lbrack k\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial x}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial y}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrack _{p=+0}\\-&\left\lbrack k\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial x}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial y}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrack _{p=-0}\end{matrix}}\right\rbrace .$

Als Beitrag zu der Gleichung (5) ist dieses Integral einmal über alle Unstetigkeitsflächen zu erstrecken. Damit es den Werth Null erhalte, hat man für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ in allen Unstetigkeitsflächen gleich Null zu setzen, was unter dem letzten Integral mit $s\,d\sigma$ multiplicirt ist. Dies liefert die Bedingungsgleichung (3) des vorigen Paragraphen.

 Da nun unter allen zulässigen Functionen $v\!$ mindestens eine das Integral (1) zu einem Minimum macht, so erfüllt diese eine Function $V\!$ die Bedingungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen. Es lässt sich noch zeigen, dass, abgesehen von einer additiven Constanten, diese Function $V\!$ die einzige Lösung der Aufgabe ist. Angenommen, es gäbe ausser $V\!$ noch eine andere Function $V+s\!$, welche das Integral (1) ebenfalls zu einem Minimum macht, so würde die Bedingung dafür lauten:

(6)	$\Omega (V+s)\leq \Omega (V+h\,s),$

wenn jetzt unter $h\!$ eine Constante verstanden wird, die unendlich nahe an 1 liegt. Beachtet man aber, dass die Function $V\!$ der Gleichung (4) Genüge leistet, so ergibt sich:

$\Omega (V+h\,s)=\Omega (V)+h^{2}\int k\left\lbrace \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrace dS$

und

$\Omega (V+s)=\Omega (V)+\int k\left\lbrace \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrace dS.$

Folglich geht die Bedingung (6) in folgende Form über:

(7)

$\int k\left\lbrace \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrace dS\leq h^{2}\int k\left\lbrace \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrace dS.$

Man darf aber die Constante $h^{2}\!$, welche unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen. Die Bedingung (7) lässt sich deshalb nur dadurch erfüllen, dass