Schwere, Elektricität und Magnetismus:241

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 227
<< Zurück	Vorwärts >>
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Eindeutige Existenz von $V\,$.

 Solcher Functionen $v\,$ gibt es unendlich viele. Wird eine von ihnen mit $V\,$ bezeiclmet, so lässt sich jede andere in die Form bringen:

$v=V+h\,s,$

wenn $h\,$ eine passend zu wählende Constante bedeutet und $s\,$ eine Function von $x,\ y,\ z$ ist, die denselben Bedingungen genügt wie $v\,$, die aber selbst in den Unstetigkeitsflächen von $v\,$ nicht unstetig wird.

 Hiernach hat das Integral:

(1)	$\Omega (v)=\int k\left\lbrace {\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+\Xi \right)}^{2}+{\left({\frac {\partial v}{\partial y}}+\mathrm {H} \right)}^{2}+{\left({\frac {\partial v}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)}^{2}\right\rbrace \;dS,$

über den Raum $S\,$ erstreckt, einen endlichen, positiven Werth. Dieser Werth ändert sich, wenn man von einer Function $v\,$ zu einer anderen übergeht. Unter allen zulässigen Functionen $v\,$ gibt es demnach mindestens eine – wir wollen sie mit $V\,$ bezeichnen –, welche den Integralwerth zu einem Minimum macht. Die Bedingung dafür lautet

(2)	$\Omega (V)<\Omega (V+h\,s),$

wenn $h\,$ unendlich klein genommen wird. Nun lässt sich aber $\Omega (V+h\,s)$ entwickeln. Der Rechnungsgang ist in §. 34 vorgeschrieben. Man erhält:

(3)	$\Omega (V+h\,s)$

${\begin{aligned}&=\Omega (V)\,\\&+2h\int k\left\lbrace \left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial s}{\partial x}}+\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial s}{\partial y}}+\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial s}{\partial z}}\right\rbrace \;dS\\&+h^{2}\int k\left\lbrace \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrace \;dS.\\\end{aligned}}$

Auf der rechten Seite der Gleichung (3) ist der erste und der dritte Bestandtheil positiv. Der zweite kann sowohl positiv als auch negativ ausfallen. Soll die Bedingung (2) befriedigt werden, so ist dazu nothwendig und hinreichend, dass

(4)

$\int k\left\lbrace \left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial s}{\partial x}}+\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial s}{\partial y}}+\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial s}{\partial z}}\right\rbrace \;dS=0$

sei. Denn in der That kommt dann auf der rechten Seite von (3) zu $\Omega (F)\,$ ein positives Glied hinzu, das nur dann zu Null wird, wenn überall $s=const\,$. Die Gleichung (4) ist also hinreichend für das Zustandekommen von (2). Sie ist aber auch nothwendig. Denn wenn sie nicht erfüllt wäre, so könnte man das Vorzeichen von $h\,$ so wählen, dass auf der rechten Seite von (3) der zweite